(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos

Clube de Matemática da spm

 




A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado. 

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP

        


Artigo de dezembro de 2012

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Título: A Prova dos Onze


No mês passado, vimos aqui a prova dos nove. Existe também uma prova dos onze, que é menos conhecida mas que apresenta vantagens (e também desvantagens) em relações à dos nove. Na prova dos nove, somam-se todos os algarismos no número dado, enquanto que na dos onze os algarismos são somados e subtraídos alternadamente. Mais precisamente, dado um número natural parte-se do algarismo das unidades, subtrai-se o das dezenas, soma-se o das centenas e por assim adiante. Por exemplo, se o número for 8815, obtemos 5 – 1 + 8 – 8, ou seja, obtemos 4. E acontece que 8815 – 4 é múltiplo de onze! Com efeito, 8815 – 4 = 8811 = 801×11. E isto funciona seja qual for o número de que se parta.


Naturalmente, visto que alguns algarismos são somados e outros são subtraídos, o resultado dos cálculos poderá muito bem ser negativo. Por exemplo, se se partir do número 18132, o resultado é –7(= 2 – 3 + 1 – 8 + 1). A conclusão a tirar é, então, que 18132 + 7 (=18132 – (–7)) é múltiplo de onze. O facto de a prova dos onze poder levar a números negativos pode ser visto como um inconveniente mas, por outro lado, como os algarismos são somados e subtraídos (e não somente somados), a prova dos onze tem, relativamente à dos nove, a vantagem de levar a números mais pequenos.

Tal como a prova dos nove, a prova dos onze pode ser usada para ajudar a confirmar se cálculos estão correctos. Mas também serve para verificar se um número foi transmitido correctamente. Se, ao transmitirmos um número, também transmitirmos o resto da sua divisão por 11, quem o receber pode usar essa informação para testar se recebeu correctamente o número. E este método tem uma vantagem óbvia se o compararmos com o uso do resto da divisão por 9: o erro mais frequente na transmissão de um número consiste na troca de dois algarismos consecutivos e, como a prova dos nove recorre somente à soma dos algarismos, o uso do resto da divisão por 9 não detecta este erro. Mas se dois números naturais distintos diferirem somente, nas suas representações decimais, na ordem pela qual aparecem dois algarismos consecutivos, então os restos das suas divisões por 11 são distintos. E isto não quer apenas dizer que estes restos costumam ser distintos, mas sim que são sempre distintos.

 

Uma ligeira variação desta ideia surge no ISBN (iniciais de International Standard Book Number). Cada livro tem um tal número, que era formado por 10 caracteres (cada um dos quais um algarismo, excepto o último, que também pode ser a letra X) até ao fim de 2006. Por exemplo, o ISBN de O mistério do bilhete de identidade e outras histórias de Jorge Buescu é 972-662-792-3 (formalmente, os hífenes não fazem parte do ISBN). O último caracter é escolhido de modo a que a soma do primeiro, multiplicado por 10, com o segundo, multiplicado por 9 e assim sucessivamente seja múltiplo de 11. Neste caso temos:
 
          9×10 + 7×9 + 2×8 + 6×7 + 6×6 + 2×5 + 7×4 + 9×3 + 2×2 + 3×1 = 319 = 29×11
 
Este método também garante que a troca de quaisquer dois algarismos é detectada. Mas também leva a um problema: é possível que o último número tenha que ser 10. Nesse caso, usa-se X (por representar 10 em numeração romana). Desde 1 de Janeiro de 2007 que o ISBN é formado por 13 algarismos e usa outro método de verificação (que nem sempre detecta troca de algarismos).
 
E porque é que se fez aqui referência ao livro O mistério do bilhete de identidade e outras histórias de Jorge Buescu? Porque o mistério ao qual o título se refere tem a ver com um algarismo de verificação de erros que era usado nos bilhetes de identidade e que é basicamente o mesmo que é usado com o ISBN de 10 caracteres! Vale a pena ler o livro por abordar isto e muitos outros assuntos.




(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Dezembro: A Prova dos 11

(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Novembro: A Prova dos 9

Publicado/editado: 20/12/2012