100 Problemas por José Paulo Viana

Clube de Matemática da spm




 

Ah, os problemas!        
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?        
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?        
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?        
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.

   

José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público


Artigo de abril de 2013          

Título: Resolução difícil...


Há muitos anos, um leitor dos Desafios do Público propôs-me um problema que logo me entusiasmou.



Temos um espelho circular de centro C. Se estivermos em P, qual é o ponto A do espelho onde vemos refletido um objeto colocado em Q?

Ora aqui tínhamos um problema de geometria, de enunciado simples e, pelo menos aparentemente, de fácil resolução. Comecei a pensar nele.

Como, pelas leis da ótica, os ângulos de incidência e reflexão são iguais, tratava-se apenas de descobrir a posição do ponto A de modo a que fossem iguais os ângulos PAB e QAB. Fui fazendo uns desenhos e experimentando vários processos conhecidos. Nada.

Dias depois, resolvi experimentar um programa de geometria dinâmica (o Cabri Geomètre) porque, com ele, é possível conceber uma conjetura, fazer rapidamente muitas experiências que ou dão força à conjetura inicial ou mostram que ela é falsa, com a vantagem de, na segunda hipótese, abrirem espaço a novas conjeturas a testar. E muitas hipóteses testei eu. Mas nada.

Durante uns dias parava mas, de repente, o problema voltava a desafiar-me e lá passava mais umas horas com ele. Sem êxito. Uma noite, acordei às 5 horas da manhã com uma ideia luminosa. Acho que já pouco dormi e, quando me levantei, fui ver como era. Mas, afinal a ideia só parecia luminosa… Falhava de novo.

Nas férias seguintes, estava a fazer campismo selvagem, longe de tudo, quando nova hipótese me surge. Era desta, mas não tinha material nenhum comigo e não podia confirmá-la. Findas as férias, a primeira coisa que fiz ao chegar a casa foi testá-la. Ai, novo desaire.

Passaram-se vários meses e, cada vez mais espaçadamente, o problema regressava e voltava a ser arquivado. A certa altura acho que o abandonei…

Uma manhã, ao ler o jornal Público, vejo uma grande notícia cujo título era mais ou menos Problema matemático finalmente resolvido. Ah, era o “meu” problema, que há mais de um século intrigava os matemáticos e, para o qual, um inglês tinha agora encontrado a solução. “Resolvi-o enquanto andava de bicicleta”, dizia ele. (Bem, talvez a ideia que levou à solução lhe tivesse ocorrido enquanto pedalava mas, tenho a certeza, houve previamente muitos dias de trabalho à volta dele…).

Mais tarde, quando a Internet se generalizou, procurei a resolução e percebi que nunca teria conseguido lá chegar: a matemática envolvida ultrapassava bastante os meus conhecimentos.




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Publicado/editado: 16/04/2013