100 Problemas por José Paulo Viana

Clube de Matemática da spm




 

Ah, os problemas!         
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?         
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?         
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?         
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.

   

José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público


Artigo de maio de 2013           

Título: POUCOS ALGARISMOS PARA UM NÚMERO ENORME


Qual é o maior número que se pode escrever usando única e exclusivamente quatro vezes o algarismo 2?

Note-se que não se pode usar mais nada, nem símbolos, nem sinais. Nada!

Quando coloco este problema aos amigos e aos alunos, há um primeiro momento de perplexidade mas logo se lembram das potências, a única operação que não usa qualquer símbolo.

Segue-se depois a fase de procura e tenho reparado que é mesmo muito raro alguém seguir um método sistemático de pesquisa. Isso tem como consequência que pouca gente acerta à primeira na resposta correta. E, no entanto, o problema está longe de ser difícil.

Façamos então uma investigação sistemática.

Potências de nível 0 (sem expoente)

A) 2222 (um número de 4 algarismos)

Potências de nível 1

B) 2222=49284 (um número de 5 algarismos)

C) 2222  ≈3,414×1029 (um número de 30 algarismos)
D) 2222  ≈3,414×1066 (um número de 67 algarismos)

Isto está a crescer. Continuemos.

Potências de nível 2

E) 222^2 = 224 = 234256 (um número de 6 algarismos)


F) 222^2=2484


G) 22^22=24194304

Potências de nível 3

H) 22^(2^2) =216=65536 (um número de 5 algarismos)

Os números F e G já não se conseguem obter com calculadoras normais mas uma TI-Nspire dá-nos o valor exato de F. É um número de 146 algarismos: 499479768…642816.

G = 22^22=24194304 é um número enorme, incalculável por métodos “normais”. Mas podemos determinar quantos algarismo tem, calculando o seu logaritmo em base 10:

log 22^22 = log 4194304 = 4194304× log 2 ≈ 1262611,31 

Este número enorme, construído apenas com quatro algarismos “2”, tem 1 262 612 algarismos. Se o quiséssemos imprimir em páginas de 30 linhas com 100 carateres por linha, precisaríamos de 4209 páginas. Nada mau, quando pensamos que a sua versão sintética usa apenas quatro algarismos. 




"100 Problemas" por José Paulo Viana de dezembro de 2012. Título: "Um Cêntimo para os Pobres" 

"
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Publicado/editado: 16/05/2013