(U)Ma Temática Elementar José Carlos Santos
Clube de Matemática da spm
Publicado a 21 de Maio de 2013

 




A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado.      

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP

             


Artigo de maio de 2013

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Título: Números Primos


O conceito de número primo é bastante conhecido e fácil de compreender: um número natural p é primo se for maior do que 1 e se só for divisível por ele próprio e por 1. Por exemplo, 7 é primo (é maior do que 1 e só é divisível por 7 e por 1), mas 10 não é primo (é verdade que é maior do que 1, mas, além de ser divisível por 10 e por 1, também é divisível por 2 e por 5).

Os teoremas mais antigos sobre números primos vêm nos Elementos de Euclides, escrito por volta do ano 300 antes de Cristo. Um destes teoremas consiste na resposta a esta pergunta: quantos números primos existem? E a resposta é: há uma infinidade de números primos. Outro teorema é o lema de Euclides, que afirma que se dois números naturais a e b forem tais que a×b seja múltiplo de algum primo p, então a ou b é múltiplo de p.

Quando se estão a multiplicar números naturais, os números primos surgem naturalmente como os elementos básicos a partir dos quais se constroem todos os outros números, no seguinte sentido: qualquer número natural maior do que 1 pode ser obtido como produto de números primos. Por exemplo, 540 = 2×2×3×3×3×5. Haverá outra maneira de escrever 540 como produto de números primos? Sim, trocando a ordem; por exemplo, tem-se também 540 = 3×2×3×5×3×2. Mas não há mais maneiras, isto é, quando se escreve um número natural maior do que 1 como produto de números primos, as outras maneiras de escrever o mesmo número como produto de números primos são as que se obtêm da primeira mudando a ordem dos primos que aí surgem. Este resultado é o teorema fundamental da Aritmética e foi provado no início do século XIX por Gauss.

O mesmo Gauss, quando ainda era adolescente, tinha um hábito curioso: contar quantos números primos há menores ou iguais a um número dado. Por exemplo, há 4 números primos menores ou iguais a 10 e há 25 números menores ou iguais a 100. Com os valores obtidos, Gauss conjecturou que o número de números primos menores ou iguais a um número x é aproximadamente o resultado da divisão de x pelo seu logaritmo natural. Pela mesma época, o matemático francês Adrien-Marie Legendre chegou à mesma conjectura, a qual seria um desafio para os matemáticos do século XIX. Só seria provada em 1895 e ficou a partir daí conhecida por teorema dos números primos.

Há imensos enunciados relativos a números primos que são fáceis de compreender mas que ninguém consegue nem provar que são verdadeiros nem provar que são falsos. Vejamos dois exemplos: a conjectura dos primos gémeos e a de Goldbach.

A conjectura dos primos gémeos afirma que há uma infinidade de primos p tais que p + 2 também é primo. Alguns números primos com esta propriedade são 3 (pois 5 é primo), 5 (pois 7 é primo) e 11 (pois 13 é primo). Outra maneira de pôr isto é a seguinte: há uma infinidade de pares de primos distintos cuja distância é menor ou igual a 2. Recentemente, Yitang Zhang, da Universidade de New Hampshire, conseguiu provar que há uma infinidade de pares de primos distintos cuja distância é menor ou igual a 70 milhões.

A conjectura de Goldbach baseia-se na constatação de que, aparentemente, é sempre possível exprimir qualquer número par maior do que 2 como soma de dois números primos. Por exemplo, 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 3 + 7 e por aí adiante. Mas será sempre verdade? Christian Goldbach, um matemático alemão, conjecturou que sim numa carta que escreveu a Euler em 1742. Mas até hoje ninguém conseguiu fornecer uma prova nem um contra-exemplo.

Um problema próximo deste último é a conjectura fraca de Goldbach, que afirma que qualquer número ímpar maior ou igual a 7 se pode exprimir como soma de três primos. Recentemente, Harald Helfgott, da Escola Normal Superior de Paris, demonstrou a conjectura fraca de Goldbach.

Atrás, surgiu por duas vezes a palavra «recentemente». Tratam-se de eventos realmente recentes, pois tiveram lugar já em Maio de 2013! Como se pode ver, o progresso da Matemática continua imparável.

 

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