(U)Ma Temática Elementar José Carlos Santos

Matemática

 




A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado.       

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP

              


Artigo de junho de 2013

Clube de Matemática SPM

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Título: Sólidos platónicos

Comecemos por um cubo:

 

Todas as faces de um cubo são quadrados (que são polígonos regulares) e o número de faces que se tocam em cada vértice é sempre o mesmo (três). Os sólidos com estas propriedades (todas as faces são polígonos regulares o número de faces que se tocam em cada vértice é sempre o mesmo) são os chamados poliedros regulares, dos quais o cubo é talvez o mais conhecido de todos.

Mas há outros. O poliedro regular com menor número de faces é o tetraedro regular:

 

Neste caso, as faces são triângulos equiláteros e, como no cubo, cada vértice é o ponto onde se tocam três faces. Uma questão natural é a de saber se há mais poliedros regulares além destes dois. Sim, há. Vejamos mais três. Há um poliedro regular com oito lados, o octaedro regular:

 

Tal como o tetraedro regular, todas as faces são triângulos equiláteros. Uma característica que o distingue dos dois anteriores é o facto de cada vértice ser o ponto onde se tocam quatro faces e não três.

Há uma ligação interessante entre o cubo e o octaedro regular: os centros das faces de um octaedro regular são os vértices de um cubo e vice-versa. Mas os vértices de um tetraedro regular são novamente os vértices de um tetraedro regular.

A seguir temos o dodecaedro:

 

Neste caso, as faces são pentágonos regulares. Como há doze faces, os dodecaedros regulares podem ser (e já foram) usados para fazer calendários.
Finalmente, temos o icosaedro regular:

 

 

Este poliedro tem vinte faces, que são todas triângulos equiláteros. Tal como acontece com o cubo e o octaedro regular, os centros das faces de um dodecaedro regular são os vértices de um icosaedro regular e vice-versa.

Todos estes poliedros são conhecidos desde a Grécia antiga e chamam-se sólidos platónicos. O cubo, o tetraedro regular e o octaedro regular são ainda mais antigos, mas julga-se que o dodecaedro e o icosaedro regulares foram descobertos por Teeteto, um contemporâneo de Platão. O nome «sólido platónico» vem de serem mencionados num diálogo de Platão, o Timeu.

Há mais poliedros regulares? Teeteto provou que não, caso se esteja a supor que os poliedros são convexos, ou seja, que qualquer segmento de recta que una dois pontos do poliedro está todo contido neste. A demonstração de que só há estes encerra o último livro dos Elementos de Euclides, o que leva a pensar que Euclides encarava esta demonstração como o pináculo da Matemática do seu tempo.

Posto isto, uma questão natural que surge é a de saber se há ou não poliedros regulares que não sejam convexos. Isso fica para o próximo mês.



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