(U)Ma Temática Elementar por J. C. Santos

Eixos de Opinião setembro 2013

 




A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado.         

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP


Dia 21 de cada mês

                 

Artigo José Carlos Santos em (U)Ma Temática Elementar

Artigo de setembro de 2013

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Título: Teorema de Pitágoras

Poucos enunciados matemáticos são tão conhecidos como o teorema de Pitágoras. Muitas pessoas com um interesse limitado pela Matemática sabem que, num triângulo rectângulo, o lado oposto ao ângulo recto se chama hipotenusa, que os outros dois lados se chamam catetos e que o teorema de Pitágoras afirma que a soma do quadrado dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.


 


Isto normalmente exprime-se através da fórmula a2 + b2 = c2, onde a e b são os comprimentos dos catetos e c é o da hipotenusa. Assim, por exemplo, se os catetos de um triângulo rectângulo medirem 3 e 4 unidades de comprimento, então a hipotenusa tem 5 unidades de comprimento, pois 32 + 42 = 25 = 52.

Mas o teorema de Pitágoras também pode ser visto de uma maneira mais geométrica. O quadrado da hipotenusa é área do quadrado que tem por lado a hipotenusa e os quadrados dos catetos são as áreas das figuras que têm por lados os catetos. Assim sendo, o teorema de Pitágoras afirma que, na figura abaixo, a área do quadrado vermelho é a soma das áreas dos quadrados verde e azul.
                   
Mas o que é que tudo isto tem a ver com Pitágoras? Nada, possivelmente. Pitágoras, que viveu no séc. VI antes de Cristo, foi o fundador de uma religião na qual havia uma tradição de se transmitirem os ensinamentos somente por via oral. Há textos antigos onde se diz que, nessa religião, se dava grande importância ao conceito de número e que foi nesse ambiente que Pitágoras chegou ao seu teorema. Mas há bons motivos para se pensar que essa ideias só surgiu muito depois da morte de Pitágoras.

De qualquer modo, mais de mil anos antes de Pitágoras que o teorema que tem o seu nome já era possivelmente conhecido pelos babilónios! De facto, há um documento babilónio com uma longa lista de tripletos pitagóricos, isto é, de números naturais a, b e c tais que a2 + b2 = c2. Vem lá que, por exemplo 33672 + 34562 = 48252. E este não é o maior exemplo da lista! Até hoje, não se sabe como nem para que fim foi feita esta lista. Mas deve-se observar que o documento em questão não faz referência a triângulos. O primeiro documento conhecido onde surge o enunciado do teorema de Pitágoras é um documento indiano, que foi escrito algures entre os séculos VIII e II antes de Cristo. Esse documento também contém uma demonstração do teorema no caso em que os catetos têm os mesmo comprimento.

O teorema de Pitágoras pode ser demonstrado de muitas maneiras diferentes. Com efeito, conhecem-se centenas de demonstrações do teorema, uma das quais é da autoria de um presidente dos Estados Unidos da América (James Garfield).

Publicado/editado: 22/09/2013