(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos

No mês passado, falou-se aqui do teorema de Pitágoras. Mas há muito mais a dizer sobre o assunto, como é natural para um tópico tão antigo. 

 
Em primeiro lugar, porque é que o teorema é verdadeiro? Uma das mais antigas demonstrações conhecidas baseia-se na seguinte figura:

Nesta figura, podem-se ver quatro triângulos rectângulos idênticos (embora representados com cores diferentes). Todos eles têm catetos de comprimentos a e b e hipotenusa de comprimento c. Da maneira como estão dispostos, deixam no meio um quadrado de lado c, que tem então área c². Imagine-se agora que se deslocam o triângulo azul e o triângulo verde da maneira indicada na seguinte figura:

Qual é o resultado destas deslocações? É aquilo que se pode ver nesta figura:

Então a região branca desta figura tem a mesma área que a região branca da primeira figura. Posto de outro modo, a² + b² = c².

Não só é verdade que, num triângulo rectângulo de catetos a e b e hipotenusa c, se tem a² + b² = c², como também o recíproco é verdadeiro. Mais precisamente, se um triângulo tem lados de comprimentos a, b e c e se a² + b² = c², então o ângulo oposto ao lado de comprimento c é recto e, em particular, o triângulo é rectângulo. O teorema de Pitágoras e o seu recíproco formam respectivamente o penúltimo e o último teorema do primeiro livro dos Elementos de Euclides.

Em alguns casos, os catetos e a hipotenusa de um triângulo rectângulo podem ter comprimentos inteiros relativamente a alguma unidade de medida (metros, por exemplo). O caso mais conhecido (e que também é aquele que envolve números mais pequenos) é o caso em que os catetos têm 3 e 4 unidades de comprimento e a hipotenusa tem 5 unidades de comprimento. Há outros? Sim: como 3² + 4² = 5², se multiplicarmos os números 3, 4 e 5 por um mesmo número voltamos a ter três números com a mesma propriedade. Assim, por exemplo, tem-se 6² + 8² = 10², 9² + 12² = 15², etc. Mas haverá mais exemplos além destes? De facto, há: 5, 12 e 13, por exemplo. Quem quiser ter mais exemplos, dispõe de uma receita muito simples para os obter: tomam-se dois números naturais m e n com m > n e consideram-se os números m² – n², 2mn e m² + n². Então a soma dos quadrados dos dois primeiros é igual ao quadrado do terceiro. Se se tomar m = 2 e n = 1, obtemos 3, 4 e 5 e se se tomar m = 3 e n = 2, obtemos 5, 12 e 13.

Vejamos agora o teorema de Pitágoras de uma maneira mais geométrica. Já no texto do mês passado foi mencionado que, se desenharmos quadrados a partir dos lados dos rectângulos, então a área do quadrado construído a partir da hipotenusa é a soma das áreas dos quadrados construídos a partir dos catetos. Euclides, no sexto livro dos Elementos, provou que as figuras construídas a partir dos lados não têm que ser quadrados. De facto, podem ter qualquer forma, desde que sejam semelhantes umas às outras. Assim, por exemplo, na próxima figura a área da região vermelha é a soma das áreas das regiões verde e azul.

Para terminar, vejamos como generalizar o teorema de Pitágoras, que é um enunciado relativo à Geometria do plano, a três dimensões. Há uma generalização bastante conhecida: se d for a diagonal de um prisma rectangular cuja base tenha lados de comprimentos a e b e se a altura do prisma for c, então a² + b² + c² = d². Mas há outra generalização bastante menos conhecida. Considere-se a figura que se segue:

Imagine que recorta esta figura e a dobra pelas linhas tracejadas. Vai então obter um tetraedro irregular, do qual três das faces são triângulos rectângulos. De facto, este tetraedro é um canto de um prisma rectangular. Pois bem: o quadrado da área do triângulo branco é a soma dos quadrados das áreas dos triângulos coloridos!

E ainda há muito mais a dizer sobre este teorema.