100 Problemas com José Paulo Viana

Há já bastantes anos, estava num encontro de professores de Matemática quando me propuseram o seguinte problema.

Temos um triângulo ABC qualquer. Um ponto P desloca-se de A para C ao longo do lado AC. Em cada posição de P, traçando perpendiculares e paralelas a AC, define-se um retângulo inscrito no triângulo, conforme se pode ver na figura.

Em que posição deve estar P para que a área do retângulo seja máxima?

Devo dizer que o problema me motivou e fui aproveitando os intervalos dos trabalhos (e mesmo algumas sessões…) para pensar nele. Os avanços eram lentos.

A certa altura fui a uma sessão prática onde iam apresentar um novo programa de geometria no computador e de que eu nunca tinha ouvido falar. Era o CABRI Geomètre.

Foi uma revelação. De repente, tinha ali um instrumento que me permitia facilmente fazer construções geométricas interligadas entre si, de tal modo que as relações entre os objetos construídos não se alteravam. Ou seja, neste problema, depois de feita a primeira figura, bastava “agarrar” o ponto P e deslocá-lo para que se obtivessem todos os outros casos. Como era possível pedir a área do retângulo, não demorou nada a conjeturar onde estava a solução.

Vários outros programas de geometria dinâmica apareceram nos anos seguintes (Geometer Sketchpad, Cinderella, Geogebra, …), cada vez mais sofisticados, cada vez com mais capacidades. A sua utilização veio alterar completamente a forma de trabalhar com a Geometria (pelo menos para algumas pessoas). É agora muito simples investigar situações que antes não estavam ao alcance de muita gente. A facilidade com que constrói e se modifica a construção, mantendo inalterado o que faz parte do enunciado (por exemplo, o ponto P, que foi construído sobre o lado AC, pode ser deslocado mas mantém-se sempre sobre AC e o retângulo vai alterando-se automaticamente) permite testar rapidamente um enorme número de casos e, quase sempre, fazer uma conjetura sobre a solução. Depois, se quisermos ser bons matemáticos, resta-nos provar que a nossa conjetura está certa.

Ainda hoje recordo com prazer o deslumbramento que foi ver que existia um programa assim. Nunca mais deixei de o usar. E passei a conseguir resolver muito mais problemas.

Claro que estes programas vieram também alterar a forma como se ensina e como se aprende Geometria. Não só se pode ir muito mais longe nesta disciplina como também (e, para mim, isso é o mais importante) se habitua os alunos (e toda a gente) a, perante uma situação desconhecida, partir para uma investigação. Ora, quando nos treinamos a investigar, seja em que campo for, passamos a fazê-lo em todas as situações. Ou seja, um programa, que “apenas” nos ensinou a investigar geometria, vai levar-nos a pesquisar sempre que nos deparemos com uma situação desconhecida.

Resposta ao problema “Os namorados ciumentos”, proposto no mês passado
- Vão Carlos e Cristina, volta Carlos.
- Vão Ana e Bárbara, volta Cristina.
- Vão António e Bernardo, voltam Bernardo e Bárbara (é este o momento crítico, regressam duas pessoas).
- Vão Carlos e Bernardo, volta Ana.
- Vão Ana e Cristina, volta Ana.
- Vão Ana e Bárbara.