100 Problemas com José Paulo Viana

Eixos de Opinião janeiro de 2014




 

Ah, os problemas!               
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?               
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?               
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?               
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.

   

José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público


100 Problemas por José Paulo Viana

Artigo de janeiro de 2014                

Clube de Matemática SPM


Título: 
 Vinho de um lado para o outro


Temos um barril cheio de vinho e duas vasilhas, uma de cinco litros e outra de oito.

Como conseguir obter exatamente quatro litros de vinho? 


Este é um problema clássico, de origem desconhecida. A primeira vez que o encontrei, lá fui por tentativa e erro até chegar à solução.

Depois, fui encontrando outras versões, em que apareciam vasilhas de tamanhos diferentes. O processo de resolução continuou a ser o mesmo: experimentar até obter a quantidade desejada.

Até que um dia resolvi fazer um estudo sistemático e descobri que existe um processo automático (um algoritmo) que permite chegar sempre à solução.

Seja A uma das vasilhas e B a outra. O que há a fazer é:
– Encher A sempre que estiver vazia,
– Despejar B sempre que estiver cheia,
– Verter o máximo possível de A para B, caso não se possa fazer nenhuma das operações anteriores.

No nosso problema, seja A a vasilha de 5 litros e B a de 8. Teremos então a seguinte sequência de operações:

1º) Encher 5-0

2º) Verter 0-5

3º) Encher 5-5

4º) Verter 2-8

5º) Despejar 2-0

6º) Verter 0-2

7º) Encher 5-2

8º) Verter 0-7

9º) Encher 5-7

10º) Verter 4-8   e obtemos quatro litros na vasilha pequena.


Será esta a melhor solução, isto é, a que exige menos operações?

Para o saber temos de testar o caso em que A é a vasilha de 8 litros e B a de 5. Obtemos a seguinte sequência (dispensamo-nos de incluir o tipo de operação):
8-0,   3-5;   3-0;   0-3;   8-3:   6-5;   6-0;   1-5;   1-0;   0-1;   8-1;   4-5

Agora foram doze operações, pelo que a primeira opção é a melhor.

Algumas considerações
– Se continuarmos o processo, iremos obter um ciclo. No nosso problema, ao fim de 25 operações volta-se à situação inicial. Além disso, vemos que em cada vasilha irão aparecer todas as quantidades possíveis. Por exemplo, no primeiro caso (vasilha A de 5 e B de 8), a vasilha A irá ter sucessivamente 2, 4, 1 e 3 litros, enquanto a B irá ter 5, 2, 7, 4, 1, 6 e 3.
– Se as capacidades das vasilhas forem números inteiros primos entre si, é possível obter todos os valores inteiros até ao maior deles. Por exemplo, com vasilhas de 8 e 21 litros, consegue-se separar qualquer quantidade de vinho, de 1 a 21 litros.
– Conhecido este algoritmo, podemos resolver qualquer problema desta família sem pensar (ou seja, deixa de ser problema). Ora isto é uma pena, porque o melhor dos problemas é ser preciso pensar para os resolver. Mas também é uma alegria descobrir um processo que permite resolver todos os problemas da família…