|
Ah, os problemas!
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público |
Temos um barril cheio de vinho e duas vasilhas, uma de cinco litros e outra de oito.
Como conseguir obter exatamente quatro litros de vinho?
Este é um problema clássico, de origem desconhecida. A primeira vez que o encontrei, lá fui por tentativa e erro até chegar à solução.
Depois, fui encontrando outras versões, em que apareciam vasilhas de tamanhos diferentes. O processo de resolução continuou a ser o mesmo: experimentar até obter a quantidade desejada.
Até que um dia resolvi fazer um estudo sistemático e descobri que existe um processo automático (um algoritmo) que permite chegar sempre à solução.
Seja A uma das vasilhas e B a outra. O que há a fazer é:
– Encher A sempre que estiver vazia,
– Despejar B sempre que estiver cheia,
– Verter o máximo possível de A para B, caso não se possa fazer nenhuma das operações anteriores.
No nosso problema, seja A a vasilha de 5 litros e B a de 8. Teremos então a seguinte sequência de operações:
1º) Encher 5-0
2º) Verter 0-5
3º) Encher 5-5
4º) Verter 2-8
5º) Despejar 2-0
6º) Verter 0-2
7º) Encher 5-2
8º) Verter 0-7
9º) Encher 5-7
10º) Verter 4-8 e obtemos quatro litros na vasilha pequena.
Será esta a melhor solução, isto é, a que exige menos operações?
Para o saber temos de testar o caso em que A é a vasilha de 8 litros e B a de 5. Obtemos a seguinte sequência (dispensamo-nos de incluir o tipo de operação):
8-0, 3-5; 3-0; 0-3; 8-3: 6-5; 6-0; 1-5; 1-0; 0-1; 8-1; 4-5
Agora foram doze operações, pelo que a primeira opção é a melhor.
Algumas considerações
– Se continuarmos o processo, iremos obter um ciclo. No nosso problema, ao fim de 25 operações volta-se à situação inicial. Além disso, vemos que em cada vasilha irão aparecer todas as quantidades possíveis. Por exemplo, no primeiro caso (vasilha A de 5 e B de 8), a vasilha A irá ter sucessivamente 2, 4, 1 e 3 litros, enquanto a B irá ter 5, 2, 7, 4, 1, 6 e 3.
– Se as capacidades das vasilhas forem números inteiros primos entre si, é possível obter todos os valores inteiros até ao maior deles. Por exemplo, com vasilhas de 8 e 21 litros, consegue-se separar qualquer quantidade de vinho, de 1 a 21 litros.
– Conhecido este algoritmo, podemos resolver qualquer problema desta família sem pensar (ou seja, deixa de ser problema). Ora isto é uma pena, porque o melhor dos problemas é ser preciso pensar para os resolver. Mas também é uma alegria descobrir um processo que permite resolver todos os problemas da família…
Artigo de Opinião
"100 Problemas" por José Paulo Viana de maio de 2013. Título: ""