(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos

Um dos números mais famosos é o número de ouro, que se representa pela letra φ e que é igual a (1 + √5)/2. Quem nunca dele ouviu falar, provavelmente achará estranho que se atribua este nome (ou seja qual nome for) a este número. Vejamos então algumas propriedades que ele tem.

A figura que se encontra abaixo é um pentágono regular. Para além dos cinco lados, também se podem aí ver as cinco diagonais. Naturalmente, todos os lados têm o mesmo comprimento e todas as diagonais têm o mesmo comprimento. E o que acontece é que se se dividir o comprimento da diagonal pelo do lado, o que se obtém é o número de ouro!

Outro contexto geométrico no qual surge o número de ouro é no seguinte problema: imagine-se um rectângulo r e que se remove dele o quadrado que tem por lado um dos lados menores de r. O que sobra é um rectângulo. Quais devem ser as proporções de r se se quiser que este novo rectângulo seja uma versão mais reduzida do original? Se o lado mais pequeno de r tiver comprimento a e se o lado mais pequeno do novo rectângulo tiver comprimento b, então o que se quer é que (a + b)/a = a/b. Um cálculo simples revela que isto é o mesmo que dizer que a/b é igual ao número de ouro.
                                            
Quem se tenha dado ao trabalho de ter feito o cálculo mencionado no parágrafo anterior verá que φ tem a seguinte propriedade: φ = 1+1/φ ou, o que vem dar ao mesmo, φ² = φ + 1. Da primeira igualdade vem que

E assim sucessivamente. No limite, tem-se:

O número de ouro (também conhecido por divina proporção) tem sido usado ao longo dos séculos em obras de arte. Aliás, o uso da letra φ para o representar é uma homenagem ao escultor grego Fídias, que o terá empregue nas suas esculturas. Outro exemplo de uso artístico do número de ouro encontra-se nos Lusíadas; veja-se Camões e a Divina Proporção, de Vasco Graça Moura. Há também fenómenos naturais onde este número surge.

O número de ouro está ligado aos números de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, …, com cada número após o segundo a ser a soma dos dois anteriores). Com efeito,se se for dividindo cada número desta sequência pelo anterior, vão-se obtendo as fracções 1, 2, 3/2, 5/3, 8/5, … Pois bem: esta sucessão converge para φ!