100 Problemas com José Paulo Viana

Eixos de Opinião abril de 2014




 

Ah, os problemas!                  
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?                  
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?                  
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?                  
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.

   

José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público


100 Problemas por José Paulo Viana

Artigo de abril de 2014                   


Num certo bairro todos os quarteirões são quadrados. É lá que moram dois amigos meus, o Carlos e a Maria, cada um em sua esquina e à distância de três quarteirões um do outro, tal como se mostra na figura.

 

A certa altura, o Carlos sai de casa para ir visitar a Maria. Exatamente à mesma hora, a Maria resolve ir até casa do Carlos. Como ambos caminham à mesma velocidade, qual é a probabilidade de eles se encontrarem no caminho?

Quando lhes coloquei este problema, a resposta do Carlos foi 33,33% e a da Maria 31,25%.

Antes de continuar a ler, caro internauta, tente responder a esta questão:

Qual dos dois tem razão?

Já está? Já tem a resposta?

Se sim, podemos continuar.

Ora bem, a verdade é que qualquer um deles pode estar certo. Ou nenhum…
Vejamos o raciocínio do Carlos:

Existem três caminhos possíveis. 




Eu posso ir por qualquer um deles, indiferentemente. A Maria, para me encontrar, tem de escolher precisamente o mesmo que eu. Logo, a probabilidade de nos cruzarmos é de 1/3 ou 33,33%.

Passemos agora ao método seguido pela Maria:

Em cada cruzamento, se houver duas ruas por onde possamos seguir, temos de atirar uma moeda ao ar para decidir qual delas escolher.

Para mim, a probabilidade de seguir pelo caminho 1 é P(M1) = 1/2 x 1/2 = 1/4; de ir pelo caminho 2 é P(M2) = 1/2; e pelo caminho 3 é P(M3) = 1/2 x 1/2 = 1/4.

Para o Carlos, as probabilidades serão: pelo caminho 1, P(C1) = 1/2; pelo caminho 2, P(C2) = 1/2 x 1/2 = 1/4; e pelo caminho 3, P(M3) = 1/2 x 1/2 = 1/4.

Para nos encontrarmos, temos de seguir o mesmo caminho, pelo que a probabilidade é:
(1/4 x 1/2) + (1/2 x 1/4) + (1/4 x 1/4) = 5/16 = 31,25%

Existem então dois métodos corretos que dão respostas diferentes. Onde está a falha?

Ora bem, a falha está precisamente no enunciado do problema, que não nos indica que método de escolha aleatória cada personagem vai adotar para decidir o percurso a seguir. Sem esse dado, não é possível resolver o problema.

Esta é uma dificuldade que surge em muitos problemas de probabilidades e para a qual temos de estar atentos.

Publicado/editado: 17/04/2014