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Ah, os problemas!
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público |
Num certo bairro todos os quarteirões são quadrados. É lá que moram dois amigos meus, o Carlos e a Maria, cada um em sua esquina e à distância de três quarteirões um do outro, tal como se mostra na figura.
A certa altura, o Carlos sai de casa para ir visitar a Maria. Exatamente à mesma hora, a Maria resolve ir até casa do Carlos. Como ambos caminham à mesma velocidade, qual é a probabilidade de eles se encontrarem no caminho?
Quando lhes coloquei este problema, a resposta do Carlos foi 33,33% e a da Maria 31,25%.
Antes de continuar a ler, caro internauta, tente responder a esta questão:
Qual dos dois tem razão?
Já está? Já tem a resposta?
Se sim, podemos continuar.
Ora bem, a verdade é que qualquer um deles pode estar certo. Ou nenhum…
Vejamos o raciocínio do Carlos:
Existem três caminhos possíveis.
Eu posso ir por qualquer um deles, indiferentemente. A Maria, para me encontrar, tem de escolher precisamente o mesmo que eu. Logo, a probabilidade de nos cruzarmos é de 1/3 ou 33,33%.
Passemos agora ao método seguido pela Maria:
Em cada cruzamento, se houver duas ruas por onde possamos seguir, temos de atirar uma moeda ao ar para decidir qual delas escolher.
Para mim, a probabilidade de seguir pelo caminho 1 é P(M1) = 1/2 x 1/2 = 1/4; de ir pelo caminho 2 é P(M2) = 1/2; e pelo caminho 3 é P(M3) = 1/2 x 1/2 = 1/4.
Para o Carlos, as probabilidades serão: pelo caminho 1, P(C1) = 1/2; pelo caminho 2, P(C2) = 1/2 x 1/2 = 1/4; e pelo caminho 3, P(M3) = 1/2 x 1/2 = 1/4.
Para nos encontrarmos, temos de seguir o mesmo caminho, pelo que a probabilidade é:
(1/4 x 1/2) + (1/2 x 1/4) + (1/4 x 1/4) = 5/16 = 31,25%
Existem então dois métodos corretos que dão respostas diferentes. Onde está a falha?
Ora bem, a falha está precisamente no enunciado do problema, que não nos indica que método de escolha aleatória cada personagem vai adotar para decidir o percurso a seguir. Sem esse dado, não é possível resolver o problema.
Esta é uma dificuldade que surge em muitos problemas de probabilidades e para a qual temos de estar atentos.