100 Problemas com José Paulo Viana
Eixos de Opinião maio de 2014
Ah, os problemas!
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público
Ah, os problemas!
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público
100 Problemas por José Paulo Viana
Artigo de maio de 2014
Ora vejam o problema.
O triângulo ABC é isósceles.
O ângulo ACB = 20º
O ângulo BAE = 50º
O ângulo ABD = 60º
Qual é a medida do
ângulo BDE?
– Não deve ser
difícil. Jogando com as propriedades dos triângulos e, eventualmente, com
simetrias, logo se chegará à solução.
Com efeito,
quase todos os ângulos são conhecidos. Para além dos que o enunciado indica,
rapidamente podemos calcular as medidas dos ângulos DAB, DAE, EBA e EBD, e até dos
quatro ângulos formados pelo cruzamento das linhas AE e BD. Pouco fica por
descobrir.
Portanto, qual é a dificuldade?
Leitor, já tentou?
Este problema é um clássico e foi-me aparecendo várias vezes
ao longo dos tempos. Várias horas fui passando às voltas com ele, sempre sem
êxito. Era mesmo difícil, pelo menos para mim!
Claro que se fizermos um desenho com papel e lápis ou uma construção num programa de geometria dinâmica, logo encontramos a solução do problema. Ou melhor, uma solução aproximada, porque nenhum destes métodos nos garante valores exatos. Mas, como o valor obtido é inteiro (30º), acreditamos que seja o verdadeiro (e há quem se dê por satisfeito).
No entanto, o que gostávamos era de chegar lá por um método
que nos desse o valor exato.
Passaram-se vários anos. O desafio foi colocado a vários
entusiastas destas coisas e nada. Ninguém lá chegava.
Até que um dia, numa revista (já não me lembro qual…) se
falava no problema, salientando que não era nada fácil, e se informava que o
livro “Challenging Problems in Geometry”, de Alfred Posamentier e Charles
Salkind (Dover, 1996) incluía várias resoluções.
Mandei logo vir o dito livro e lá estavam sete (sim, sete)
métodos diferentes de chegar à solução exata. Cinco das resoluções eram
geométricas, implicando a construção de linhas auxiliares dentro e/ou fora do
triângulo inicial ABC, e as outras duas recorriam à trigonometria. Todas eram
muito engenhosas, todas eram rebuscadas, nenhuma era fácil!
Percebi então a razão das minhas dificuldades…