100 Problemas com José Paulo Viana
Eixos de Opinião junho de 2014
Ah, os problemas!
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público
Ah, os problemas!
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público
100 Problemas por José Paulo Viana
Artigo de junho de 2014
Estava a Teresa a fazer o primeiro corte na pizza que tinham encomendado quando o João lhe disse:
– Olha que temos de a dividir em fatias mas atenção, cada um de nós tem de ficar exatamente com metade da pizza.
Já era tarde: o primeiro corte tinha sido feito sem grande atenção e, nitidamente, não passava pelo centro.
E agora? Como hão de ser os restantes cortes, todos retilíneos, de modo a garantir que nenhum dos dois come mais que o outro?
À primeira vista, o imbróglio não parece ser facilmente ultrapassado. No entanto, existe uma solução geométrica, bastante simples de executar, que garante a divisão equitativa.
O que há a fazer é executar um corte qualquer perpendicular ao primeiro. Não interessa por onde vai passar esse segundo corte.
Depois, mais dois cortes que façam um ângulo de 45º com os anteriores.
Obtêm-se oito fatias, todas diferentes entre si. Contudo, se elas forem distribuídas alternadamente à Teresa e ao João, ambos ficarão com a mesma quantidade de pizza.
O resultado é surpreendente mas a demonstração de que a área sombreada é igual à não sombreada não é elementar. Envolve coordenadas polares e integrais múltiplos e não a faremos aqui.
E se os dois quisessem que o rebordo da pizza também fosse dividido igualmente? Haverá uma divisão simples em fatias que não partam do centro?
Pois bem, se não a Teresa ainda não tiver feito o primeiro corte ao acaso, existe mesmo uma partição fácil de executar que garante que tanto a pizza como seu rebordo ficam equitativamente repartidos.
Começa-se por dividir o rebordo em oito partes de igual comprimento. Depois, escolhe-se um ponto qualquer da pizza e fazem-se os cortes a partir deste ponto para os oito pontos do rebordo. Agora, basta distribuir as fatias alternadamente.
Também aqui a demonstração matemática da igualdade das áreas não é elementar.