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José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP Dia 21 de cada mês
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O tema dos logaritmos já foi abordado nesta coluna. Desta vez, a ênfase será posta num aspecto diferente: o da base dos logaritmos. Os estudantes que entram em cursos científicos ficam geralmente surpreendidos ao ficarem a saber que, nas disciplinas de Matemática, «logaritmo» significa logaritmo neperiano (ou seja, em base e) e não logaritmo em base 10. Porquê base e? A base 10 parece muito mais natural.
Uma questão natural aqui é a de saber em que base é que eram os logaritmos quando foram introduzidos por Neper, no início do século XVII. A base não era e, nem poderia ser, pois o número e só começou a ser estudado décadas mais tarde, por Jacob Bernoulli. Mas também não era 10. Para Neper, o logaritmo L de um número N é o número para o qual se tem N = 107(1 – 10–7)L. Posto de outro modo, L é o logaritmo de N/107 na base 1 – 10–7. Mas isto está muito próximo de ser o logaritmo de N/107 na base 1/e multiplicado por 107, ou seja, o simétrico do logaritmo neperiano de N/107 multiplicado por 107. Assim sendo, o logaritmo original de Neper, estava mais próximo do logaritmo neperiano do que do logaritmo de base 10.
É interessante constatar que há muitos problemas cujo enunciado não faz referência a logaritmos mas cuja resposta envolve o logaritmo neperiano. Vejamos alguns exemplos.
Considerem-se as somas 1 – 1/2 + 1/3 – 1/4 + … À medida que vamos acrescentando mais termos, o que é que obtemos? Se somarmos 10 termos, obtemos 0,645635…, se somarmos 100 termos, obtemos 0,688172 e se somarmos 1000, obtemos 0,692647. E no limite, o que é que obtemos? A resposta é log(2).
Considere-se agora um número x > 0. Sabe-se que a sucessão x, x1/2, x1/3, … das suas raízes tende para 1. O que acontece à sucessão dos números da forma n.(x1/n – 1)? Isto é uma indeterminação, por ser o produto de uma sucessão que tende para infinito por uma sucessão que tende para 0. Acontece que o seu limite é log(x).
Vejamos agora um problema mais geométrico. Considere-se um quadrado (a cheio) de lado 1. Qual é a distância média de um dos seus pontos ao centro do quadrado? Se r for a raiz quadrada de 2, então a distância média é (r + log(1 + r))/6. E se o quadrado for só uma linha e não a cheio? A resposta é quase a mesma: é (r + log(1 + r))/4.
E muitos mais exemplos poderiam ser dados: o comprimento de um arco de hipérbole, o comprimento de um arco de parábola, a área de uma região limitada por dois arcos de hipérbole, etc. Assim sendo, não admira que o logaritmo neperiano também seja conhecido por logaritmo natural.