(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos
Eixos de Opinião setembro de 2014
Publicado a 22 de Setembro de 2014

 


A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado.                    

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP           


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Artigo José Carlos Santos em (U)Ma Temática Elementar

Artigo de setembro de 2014

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Título: Números de Fibonacci

Em 1202, Leonardo de Pisa, mais conhecido por Fibonacci, escreveu o Liber Abaci, um dos textos matemáticos mais importantes da história da Europa. Foi dos primeiros livros da Europa a exporem a numeração árabe e foi aquele que mais impacto teve na adopção daquele sistema de numeração.


 


No entanto, a fama de Fibonacci (que, já agora, só começou a ser conhecido por este nome séculos após a sua morte) vem sobretudo de uma famosa sucessão ligada ao seu nome: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … Esta tem origem no seguinte problema do Liber Abaci: num prado há um casal de coelhos recém-nascidos, que acasala ao fim de um mês. Cada gravidez dura um mês e dá origem a um novo casal, com as mesmas características que os pais. Se não houver mortes entretanto e se cada casal acasala logo que tenha dado origem a outro casal, quantos casais há ao fim de um ano? Este problema é simples de resolver.
 Inicialmente, há apenas um casal de coelhos recém-nascidos.
 Um mês mais tarde, acasalam pela primeira vez, mas continua a haver somente um casal de coelhos.
 Um mês mais tarde, nasce um novo casal de coelhos. Há então dois casais e o casal original acasala novamente.
 Um mês mais tarde, nasce um novo casal. Há então três casais, dos quais dois acasalam: o original e o primeiro casal a nascer desse.

Prosseguindo assim, vê-se que o número de casais de coelhos ao fim de um certo número de meses é igual à soma do número de casais recém-nascidos (que, por sua vez, é igual ao número de casais que havia dois meses antes) com o número de casais que havia no mês anterior (pois está-se a supor que não houve mortes). Isto dá:
 Inicialmente: 1 casal
 Ao fim de um mês: 1 casal
 Ao fim de dois meses: 2 (= 1 + 1) casais
 Ao fim de três meses: 3 (= 1 + 2) casais
 Ao fim de quatro meses: 5 (= 2 + 3) casais
 
 Ao fim de um ano (= doze meses): 233 (= 89 + 144) casais

Para se resolver este problema basta ter-se então um mínimo de paciência para se ir realizando todos os cálculos até se chegar ao número 233. Mas a importância e o impacto do problema baseiam-se na quantidade de problemas interessantes associados a estes números.

Actualmente, define-se a sucessão de Fibonacci do seguinte modo: é a sucessão F1, F2, F3, … tal que F1 = 1, F2 = 1 e cada um dos restantes termos é a soma dos dois anteriores. Os primeiros termos da sucessão são:


1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …


Os números que são termos desta sucessão designam-se por números de Fibonacci.

Os números de Fibonacci estão ligados ao número de ouro (φ). Por um lado, como já Kepler observou há séculos, se se divide cada número de Fibonacci pelo anterior, obtém-se uma sucessão que converge para φ. Por outro lado, o número Fn pode ser obtido dividindo φn – (–1/φ)n pela raiz quadrada de 5.

A sucessão de Fibonacci tem um grande número de propriedades notáveis. Eis alguns exemplos:
 Se somarmos 1 à soma dos n primeiros números de Fibonacci, obtemos Fn + 2.
 Dados três números de Fibonacci consecutivos, o quadrado do do meio difere do produto dos outros dois por apenas uma unidade. Mais precisamente, Fn+12Fn×Fn + 2 = (–1)n.
 Se m e n são números naturais e se m for múltiplo de n, então Fm é múltiplo de Fn.
 Se m e n são números naturais e se d for o seu máximo divisor comum, então o máximo divisor comum de Fm e de Fn é Fd.

O estudo dos números de Fibonacci continua a produzir resultados novos. Eis um exemplo: quem tiver uma tabela de números Fibonacci, pode constatar que, dentro dos números de Fibonacci maiores do que 1, só encontra um quadrado perfeito (144), só encontra um cubo perfeito (8) e que não encontra mais nenhuma potência. Pois bem: não encontra nem nunca encontrará, por mais longa que seja a tabela. Isto só foi provado em 2006!