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José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP Dia 21 de cada mês
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No mês passado, falou-se aqui nos números de Fibonacci. Vão ser vistas aqui mais algumas propriedades destes números, desta vez mais ligadas à Geometria.
Considera-se um quadrado e, encostado a ele, outro quadrado do mesmo tamanho. Os dois quadrados juntos formam um rectângulo de dimensões 2×1 (se se tomar como unidade de comprimento o lado do primeiro quadrado). Encostado a um dos lados maiores deste rectângulo, podemos ter um quadrado com duas unidades de lado. Então agora temos no total um rectângulo de dimensões 3×2. Junto a um dos lados maiores deste rectângulo, podemos colocar um quadrado com três unidades de lado. Nesta fase, temos um rectângulo de dimensões 5×3. Se prosseguirmos assim, temos uma figura como a de baixo.
Os números que estão aqui a aparecer (1, 1, 2, 3, 5, 8, …) são os de Fibonacci e, naturalmente, poder-se-ia prosseguir indefinidamente. Além disso, desenhem-se quartos de circunferência nos quadrados atrás referidos, de maneira que o resultado seja o da próxima figura:
A linha vermelha assim obtida parece-se com uma espiral. Designa-se por espiral de Fibonnacci.
Considere-se agora o famoso paradoxo do quadrado desaparecido, que está ilustrado na figura abaixo. É possível reordenar as peças da metade de cima da figura de maneira a obter a metade de baixo, a qual tem aparentemente área menor do que a de cima. Repare-se agora no tamanho dos catetos das peças triangulares. No caso de triângulo menor, os catetos têm duas e cinco unidades de comprimento; no caso do outro triângulo, têm três e oito unidades de comprimento. Acontece que os números 2, 3, 5 e 8 são todos números de Fibonacci! Isto não é coincidência.
Até na Natureza se podem ver os números de Fibonacci. Considerem-se as sementes de um girassol, que estão colocadas à superfície deste ao longo de espirais. Pois bem: é frequente que o número de sementes situadas nas espirais que rodam num sentido seja um número de Fibonacci (o mesmo para todas as espirais), enquanto que o número de sementes situadas nas espirais que rodam no sentido oposto é outro número de Fibonacci.