(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos
Eixos de Opinião outubro de 2014
Publicado a 21 de Outubro de 2014

 


A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado.                     

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP            


Dia 21 de cada mês

                 


Artigo José Carlos Santos em (U)Ma Temática Elementar

Artigo de outubro de 2014

Clube de Matemática SPM

Facebook Clube SPM

Título: Ainda os números de Fibonacci

No mês passado, falou-se aqui nos números de Fibonacci. Vão ser vistas aqui mais algumas propriedades destes números, desta vez mais ligadas à Geometria.

 
Considera-se um quadrado e, encostado a ele, outro quadrado do mesmo tamanho. Os dois quadrados juntos formam um rectângulo de dimensões 2×1 (se se tomar como unidade de comprimento o lado do primeiro quadrado). Encostado a um dos lados maiores deste rectângulo, podemos ter um quadrado com duas unidades de lado. Então agora temos no total um rectângulo de dimensões 3×2. Junto a um dos lados maiores deste rectângulo, podemos colocar um quadrado com três unidades de lado. Nesta fase, temos um rectângulo de dimensões 5×3. Se prosseguirmos assim, temos uma figura como a de baixo.


 


Os números que estão aqui a aparecer (1, 1, 2, 3, 5, 8, …) são os de Fibonacci e, naturalmente, poder-se-ia prosseguir indefinidamente. Além disso, desenhem-se quartos de circunferência nos quadrados atrás referidos, de maneira que o resultado seja o da próxima figura:


 


A linha vermelha assim obtida parece-se com uma espiral. Designa-se por espiral de Fibonnacci. 

 
Considere-se agora o famoso paradoxo do quadrado desaparecido, que está ilustrado na figura abaixo. É possível reordenar as peças da metade de cima da figura de maneira a obter a metade de baixo, a qual tem aparentemente área menor do que a de cima. Repare-se agora no tamanho dos catetos das peças triangulares. No caso de triângulo menor, os catetos têm duas e cinco unidades de comprimento; no caso do outro triângulo, têm três e oito unidades de comprimento. Acontece que os números 2, 3, 5 e 8 são todos números de Fibonacci! Isto não é coincidência.


 


Até na Natureza se podem ver os números de Fibonacci. Considerem-se as sementes de um girassol, que estão colocadas à superfície deste ao longo de espirais. Pois bem: é frequente que o número de sementes situadas nas espirais que rodam num sentido seja um número de Fibonacci (o mesmo para todas as espirais), enquanto que o número de sementes situadas nas espirais que rodam no sentido oposto é outro número de Fibonacci.