(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos
Eixos de Opinião novembro de 2014
Publicado a 21 de Dezembro de 2014

 


A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado.                       

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP              


Dia 21 de cada mês

                 


Artigo José Carlos Santos em (U)Ma Temática Elementar

Artigo de dezembro de 2014

Clube de Matemática SPM

Facebook Clube SPM

Título: Pi (continuação)

Em Abril, falou-se aqui do número π e ficou para o mês seguinte a continuação, ou seja, um texto sobre o que se descobriu sobre π após Ferdinand Lindemann ter provado que não é solução de nenhuma equação polinomial com coeficientes inteiros (fora a equação 0=0). Com uns meses de atraso, aqui está esse texto.

Uma das primeiras pessoas a contribuir com resultados relativos a π após Lindemann foi o matemático indiano Ramanujan. Já se sabia no tempo dele que o problema da quadratura do círculo (construir com régua não graduada e compasso um quadrado com a mesma área que a de um círculo dado) não tem solução; isto é uma consequência do que Lindemann provou. Isso não impede que se procurem soluções aproximadas desse problema. Foi o que fez Ramanujan em 1913: ele mostrou como construir usando somente régua não graduada e compasso um quadrado que teria a mesma área que a de um círculo dado caso π fosse igual a 355/113. Como este último número é igual a 3,1415929… e como π é igual a 3,141592653…, o erro é bastante pequeno. O facto de 355/113 estar bastante próximo de π já era conhecido desde a antiguidade, mas após Ramanujan ter obtido a construção atrás mencionada, ele descobriu «por métodos empíricos» (expressão dele) que uma aproximação ainda melhor de π é a raiz quarta de 2143/22 (que é igual a 3,141592652…) e fez uma construção aproximada da quadratura do círculo baseada neste facto.

Mas a principal contribuição de Ramanujan para o estudo de π vem de uma série que ele obteve cuja soma é 1/π e que converge muito rapidamente. Isto permite obter π com um elevado número de casas decimais.

Naturalmente, até ao início do século XX o cálculo de π era feito à mão. Quando surgiram as calculadoras e os computadores, estes foram rapidamente foram empregues para calcular π com um elevado número de casas decimais. O primeiro cálculo deste tipo foi feito em 1949 com uma calculadora e obteve 1120 algarismos de π. No mesmo ano, uma equipa de matemáticos dos quais fazia parte John von Neumann, recorreu a um dos primeiros computadores, o ENIAC (Electronic Numerical Integrator And Computer) para calcular mais de 2000 algarismos de π. Mas um computador só faz os cálculos que lhe mandam fazer. Para se obter π com muitas casas decimais é preciso dispor-se de algoritmos que permitam calcular esses algarismos num tempo razoável. Um tal algoritmo, que não tem a ver com somas de séries, foi desenvolvido nos anos 70 do século XX a partir de ideias de Gauss e de Legendre. Tomam-se como ponto de partida os seguintes números:


 a0 = 1;
 b0 = raiz quadrada de 1/2;
 t0 = 1/4;
 p0 = 1.

Em seguida definem-se:


 a1 = média aritmética de a0 e de b0;
 b1 = média geométrica de a1 e de b1;
 t1 = t0 – p0(a0 – a1)2;
 p1 = 2p0.

O passo seguinte consiste em definirem-se:


 a2 = média aritmética de a1 e de b1
 b2 = média geométrica de a2 e de b2;
 t2 = t1 – p1(a1 – a2)2;
 p2 = 2p1

e assim sucessivamente. Acontece que o quociente da divisão de (an + bn)2 por 4tn é uma boa aproximação de π e, naturalmente, quanto maior for n, melhor é a aproximação. E os quocientes em questão aproximam-se muito depressa de π. Por exemplo, com n = 3, obtém-se 3,1415926535897932382… e só o último destes algarismos é que não está certo.

A busca por melhores algoritmos para calcular π não parou. O mais recente tem menos de 20 anos e deve-se ao matemático canadiano Simon Plouffe.

Também se tem continuado a estudar a natureza do número π. A grande questão em aberto sobre este tópico é a de saber se π é ou não normal. O conceito de número normal foi introduzido por Emile Borel em 1909 e consiste no seguinte:
 se b for um número natural maior do que 1, diz-se que o número real x é normal na base b se, ao o exprimirmos na base b, cada algarismo aparecer aí com a mesma frequência, cada sequência de dois algarismos aparecer aí com a mesma frequência e assim sucessivamente;
 diz-se que um número real x é normal se for normal em todas as bases.

Posto assim, parece que é extraordinariamente difícil que um número seja normal, mas, de facto, pode-se provar que quase todos os números reais são normais. Mas por outro lado, não se conhece nenhum exemplo concreto de um número normal. Será que π é um tal número? Ninguém sabe!