100 Problemas com José Paulo Viana
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião janeiro de 2015
Publicado a 17 de Janeiro de 2015




 

Ah, os problemas!                          
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?                          
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?                          
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?                          
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.

   

José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público


100 Problemas por José Paulo Viana

Artigo de janeiro de 2015 - Dia 17                                    

Clube de Matemática SPM


Título: O Bandido Duplamente Armado



Numa livraria, há já muitos anos, houve um título que me chamou a atenção: O Bandido Duplamente Armado, de Soledad Puértolas (Bertrand Editora). Comprei-o, julgando até que era um policial. Afinal não, tratava-se de um romance (razoável) sobre as relações homem-mulher. Fui lendo-o, sem perceber muito bem por que razão tinha aquele nome. Até que, a 14 páginas do fim, tudo se esclareceu. O título provinha de um problema matemático bastante interessante. Aqui vai ele (numa versão um pouco mais clara do que a que lá estava).

Tens duas moedas, aparentemente iguais, mas uma delas é normal e na outra é mais provável sair “cara” do que “coroa”. Em cada jogada, escolhes a moeda que quiseres e atira-la ao ar. Ganhas se sair “cara”. Qual é a melhor estratégia para otimizares os ganhos?.

Ora aqui tínhamos um problema, daqueles que gosto.

A autora indicava duas possíveis abordagens, que correspondem a duas filosofias de vida:
– Escolher uma moeda e jogar sempre com ela (que seria a estratégia feminina).
– Mudar de moeda cada vez que se perde (estratégia essencialmente masculina).

Claro que rapidamente percebemos que nenhuma delas é a melhor. Comecei a pensar no problema e logo vi que não era nada fácil. Se admitirmos que conhecemos a probabilidade de sair cara na segunda moeda (por exemplo, 0,6), a questão torna-se mais fácil e julgo tê-lo resolvido. Mas, no original, nada se diz sobre as probabilidades na segunda moeda e tudo se mantinha em aberto.

Quando a internet se vulgarizou, fui à procura do Bandido Duplamente Armado. Em português só me apareceram descrições de assaltos, a bancos e a pessoas. Em inglês, tive mais sorte. O problema teria aparecido em 1952, num artigo de H. Robbins no Boletim da American Mathematical Society. As resoluções que encontrei tinham um aspeto de fugir e, só gastando muito tempo, talvez as chegasse a entender. Desânimo!

Ultimamente, voltei a pesquisar e fiquei mais esclarecido. O problema surgiu antes daquela data e, ao contrário do que pode parecer, tem muitas aplicações práticas. Um dos exemplos mais claros é na medicina. Quando se descobre um novo medicamento para uma doença grave, é preciso compará-lo com o remédio antigo, para ver qual é o que produz melhores resultados. Mas, como se querem poupar sofrimentos e vidas, é fundamental usar o mais possível o melhor deles (que não se sabe qual é…).

Durante a segunda guerra mundial, o problema foi atacado por um grupo de matemáticos ingleses. A invenção de uma nova arma obrigava a compará-la com as do mesmo tipo já existentes. Os recursos disponíveis eram importantes e escassos, sendo indispensável descobrir rapidamente qual delas era melhor. O problema revelou-se tão difícil que um dos matemáticos chegou a sugerir que ele fosse passado ao inimigo para que “os cientistas alemães também perdessem tempo com ele”.

Ao saber disto, fiquei mais descansado por não o ter conseguido resolver completamente.
Alguém quer tentar?