100 Problemas com José Paulo Viana

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião maio de 2015




 

Ah, os problemas!                              
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?                              
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?                              
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?                              
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.

   

José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público


100 Problemas por José Paulo Viana

Artigo de maio de 2015 - Dia 17                                        

Clube de Matemática SPM


Título:   
OUTROS AMIGOS, MAIS JANTARES

Este mês, vamos ver um prolongamento do problema anterior. 

Desta vez, são nove amigos que vão passar quatro dias de férias num aldeamento turístico. Todas as noites irão jantar a um restaurante, onde já reservaram uma mesa redonda com nove lugares.

Eles gostariam que os vizinhos (um à esquerda, outro à direita) fossem diferentes de jantar para jantar, de tal modo que, no final das férias, cada um tivesse jantado ao lado de todos os restantes.

 

Será isso possível? Se sim, como se hão de eles sentar em cada jantar?


Como sempre, leitor, antes de continuar a ler aconselhamo-lo a tentar resolvê-lo. Dá sempre um grande prazer sermos nós próprios a chegar à solução (sobretudo quando isso não é imediato).

Esta é mais uma versão da classe de problemas que ficou conhecida por “Problema de Oberwolfach”. O método encontrado para os resolver parte de um grafo com uma posição central, que se manterá fixa, enquanto os restantes pontos rodarão sempre no mesmo sentido.

Representemos então cada um dos nove amigos por um ponto. Vamos ligar os pontos todos em série. Começamos por unir o ponto central 1 com dois pontos em posições opostas (o 2 e o 6, por exemplo).

 

Depois, a partir do 2 e do 6, avançamos uma casa (para o 3 e 7, respetivamente). A seguir, do 3 e 7, saltamos duas casas, para o 5 e o 9. Daqui, avançamos três casas, para o 8 e 4. Finalmente, ligamos estes dois entre si (estão a quatro casas de distância um do outro). Obtemos assim a disposição dos amigos na primeira noite:

1–2–3–5–8–4–9–7–6

Para as noites seguintes, basta ir rodando as casas numeradas em torno de 1, mantendo imóveis as linhas que representam a mesa.


Publicado/editado: 17/05/2015