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José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP Dia 21 de cada mês
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No mês passado falou-se aqui do algoritmo de multiplicação. Desta vez, vou falar do algoritmo de divisão. Neste caso, não há tantas variantes como no caso da multiplicação, mas o assunto não deixa de ter algum interesse.
No mês passado viu-se como é que se faziam multiplicações no antigo Egipto. Há um método análogo para as divisões. Imagine-se que se quer calcular 55/5. Começa-se por construir uma tabela com as seguintes características:
• a tabela tem duas colunas;
• a primeira entrada da primeira linha tem o valor 1;
• a segunda entrada da primeira linha tem o divisor (5, neste caso);
• cada entrada de cada uma das restantes linhas tem o dobro do valor que está acima dele;
• a última linha da tabela é a primeira linha para a qual o número da direita for maior do que metade do dividendo (27,5, neste caso).
Então neste caso a tabela em questão será:
Em seguida, somam-se os números da coluna da direita cuja soma seja igual ao dividendo. Neste caso, o dividendo é 55 e tem-se 55 = 40 + 10 + 5. Então 55/5 é a soma dos números da coluna da esquerda que estão em frente àqueles que foram usados na soma anterior, ou seja é igual a 8 + 2 + 1 (= 11).
E quando não der resto certo? O método é o mesmo, mas agora não há números da coluna da direita cuja soma seja igual ao dividendo. Nesse caso, o que se faz é encontrar os números da coluna da direita que, somados, estejam o mais próximo possível do dividendo (sem o exceder). Assim, por exemplo, se se quiser dividir 62 por 5 pode-se recorrer à tabela anterior. Neste caso, somando números da coluna da direita da tabela, o mais perto que se pode ter de 62 (mais uma vez, sem o exceder) é 60 (= 40 + 20). Logo, o quociente da divisão de 62 por 5 é 12 (= 8 + 4) e o resto é a diferença de 60 para 62 (ou seja, é igual a 2).
Quanto ao algoritmo da divisão que todos aprendemos no Ensino Básico, realmente, não tem muito por onde ser melhorado. No entanto, a maneira como os cálculos são apresentados não é universal. Considere-se, por exemplo, a divisão de 2961 por 14. Aplicando o algoritmo usual, obter-se-ia qualquer coisa como:
De facto, esta seria a maneira de representar os cálculos em toda a Europa do Sul e no Brasil, mas isto não é universal. Por exemplo, nos Estados Unidos e no México o mesmo cálculo seria apresentado do seguinte modo:
Ainda há outras maneiras de apresentar este cálculo nos países do Norte da Europa.
Para terminar, vamos ver um método de divisão que é particularmente apropriado para o caso em que se quer fazer um grande número de divisões todas com o mesmo denominador. Repare-se que dividir a por b é o mesmo que multiplicar a por b–1. Qual é a vantagem desta abordagem? Para se calcular b–1 é necessário dividir 1 por b e, após isso, ainda é necessário fazer o produto por a. Acontece que há um método rápido de calcular um valor aproximado de b–1, que é o seguinte: começa-se por tomar um valor aproximado de b–1, que vai ser representado por x0. Em seguida define-se
• x1 = x0(2 – b . x0)
• x2 = x1(2 – b . x1)
• x3 = x2(2 – b . x2)
e assim sucessivamente. Acontece que quanto mais longe formos nestes cálculos, mais perto estamos de b–1. Se, por exemplo, b = 14, então, se se tomar x0 = 0,1,
• x1 = 0,06
• x2 = 0,0696
• x3 = 0,0713818
• x4 = 0,0714285
Acontece que este valor já está bastante próximo de 1/14 (que é igual a 0,0714285714285…). Então 2961/14 é aproximadamente 2961x0,0714285 = 211,4997885, o que é compatível com o cálculo feito pelo algoritmo usual. Este método de fazer divisões designa-se por método de Newton-Raphson.