(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos

Nos dois últimos meses, falou-se aqui dos algoritmos da multiplicação e da divisão. Para encerrar este tipo de assuntos vão-se ver aqui algoritmos para o cálculo de raízes quadradas. Contrariamente ao que acontece com a multiplicação e com a divisão, muitas pessoas passam por todos os níveis de ensino sem nunca terem visto um algoritmo para este tipo de cálculos.

Imagine-se, por exemplo, que se quer calcular a raiz quadrada de 51.342. O algoritmo tradicional de cálculo da raiz quadrada começa agrupando os algarismos deste número aos pares, a partir da direita. Naturalmente, não será possível fazer exactamente isto, visto que há cinco algarismos; nestes casos, o da esquerda fica isolado. O passo seguinte consiste em encontrar o maior quadrado perfeito menor ou igual ao número formado pelo algarismo ou pelo par de algarismos mais à esquerda. Como, neste caso, como se está a falar no número 5, o quadrado perfeito em questão é 4, ou seja, 2². Isto significa que o algarismo mais à esquerda da raiz quadrada é 2, o que é natural, pois

E qual é o segundo algarismo? Para começar subtrai-se a 5 o quadrado de 2, obtendo-se 1, e acrescenta-se a este número o par de algarismos seguinte, que são 1 e 3, obtendo-se 113. O segundo algarismo é o maior algarismo a tal que (4a)×a seja menor ou igual a 113; o 4 do produto anterior é o dobro do 2, que é a parte da raiz quadrada já obtida. Então toma-se a = 2, pois 42×2 < 113 < 43×3. Sendo assim, o segundo algarismo da raiz quadrada também é 2, o que bate certo, pois

Para se calcular o terceiro algarismo, o processo é semelhante. A 113 subtrai-se 42×2, o que dá 29. Acrescentam-se a estes dois algarismos o par seguinte de algarismos do número original (4 e 2), o que dá 2.942. O terceiro algarismo da raiz quadrada é o algarismo a tal que (44a)×a seja menor ou igual a 2.942, onde, mais uma vez, o número 44 está ali por ser o dobro de 22. Neste caso, a = 6. Logo, a raiz quadrada de 51.342 está entre 226 e 227. Seria exactamente 226 caso 446×6 fosse igual a 2.942, o que não é o caso.

O que está por trás deste método de calcular a raiz quadrada é a relação

Outro método de calcular raízes quadradas é o método de Herão. Voltemos ao exemplo do número 51.342. Para começar, toma-se uma raiz quadrada aproximada deste número, que pode ser 200. É claro que a raiz quadrada de 51.342 é maior do que 200, pois 200² < 51.342. Mas isto é o mesmo que afirmar que

Logo, 51.342 < 200×256,71 < 256,71², pelo que a raiz quadrada de 51.342 está entre 200 e 256,71. Então toma-se a média aritmética destes dois números (que é igual a 228,355) e recomeça-se. Visto que 51.342/228,355 = 224,834, o número seguinte será a média aritmética entre 228,255 e 224,834, ou seja, será 226,595. E assim sucessivamente. O número que aparece a seguir é o 226,588 e, como a raiz quadrada de 51.342 tem que estar entre 226,588 e 226,595 deduz-se daqui não só que a parte inteira da raiz quadrada de 51.342 é igual a 226, como também se pode ver que o primeiro algarismo a seguir à vírgula é o 5.

Para terminar, assinale-se que, por vezes, um método empregue por calculadoras para calcular raízes quadradas é o seguinte: a raiz quadrada de x é exp((log x)/2). Isto funciona, pois

exp((log x)/2)² = exp(log x) = x.