(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos: 1 = 0,9999999999999999…?
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião julho de 2015
Publicado a 21 de Julho de 2015

 


A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado.                              

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP                     


Dia 21 de cada mês

                 


(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos: 1 = 0,9999999999999999…?

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Título: 1 = 0,9999999999999999…?

A pergunta do título deste texto surge com alguma frequência. Talvez mais frequentemente surgem pessoas a afirmar que não, ou seja, que 0,9999999999999999… não é igual a 1. Mas acontece que é!

Quando se aprende a representar números em notação posicional, aprende-se (talvez não explicitamente) que qualquer número natural pode ser representado por uma e uma só sequência finita de algarismos (com a condição de o algarismo da esquerda ser diferente de 0). Além disso, cada sequência finita de algarismos é a representação de um (e só um) número natural.

Quando se estuda a representação decimal dos números reais, é introduzido um novo símbolo: a vírgula. Cada número real maior do que zero pode ser representado por uma sequência finita ou infinita de símbolos, cada um dos quais é um algarismo ou uma vírgula, com as seguintes restrições:


 Não pode haver mais do que uma vírgula.

 Tem que haver uma vírgula caso a sequência seja infinita.

 O primeiro elemento da sequência não pode ser uma vírgula.

 O primeiro elemento da sequência só pode ser um 0 se for imediatamente seguido por uma vírgula.


Com estas regras, não só qualquer número real maior do que zero pode ser representado por uma tal sequência, como, reciprocamente, a cada sequência corresponde um número real maior do que zero.

Mas será que a cada número real corresponde somente uma tal sequência de algarismos, com ou sem uma vírgula? A resposta é claramente negativa, pois 1,3 = 1,30 = 1,300 = … = 1,300… Mas este problema desaparece se se acrescentarem as seguintes regras às anteriores:


 Caso haja uma vírgula e a sequência seja finita, o algarismo da direita tem que ser diferente de 0.

 Caso haja uma vírgula e a sequência seja infinita, os algarismos não podem ser todos 0 a partir de certa altura.


Agora pode parecer que a cada número real maior do que 0 corresponde uma e uma só sequência que satisfaz as regras atrás descritas. Mas não é esse o caso, pois, como foi afirmado acima, 1 = 0,99999999999… E porquê?

Uma resposta rigorosa é a seguinte: porque o significado de 0,99999999999…é


9/10 + 9/102 + 9/103 + …


e qualquer pessoa com um conhecimento rudimentar de somas de séries sabe que a soma desta série é

9×(1/10)/(1 – 1/10) = 1.


Mas como convencer alguém de que 1 = 0,99999999999… sem usar séries nem invocar um argumento de autoridade? Uma maneira de o fazer é a seguinte:


 Chama-se x ao número 0,99999999999…

 Então 10x = 9,99999999999…

 Logo, 10x – x = 9.

 Mas isto é o mesmo que dizer que 9x = 9.

 Sendo assim, x = 1!


Já agora, haverá ainda mais casos de números reais maiores do que zero com duas representações decimais distintas? Sim, mas o caso 1 = 0,99999999999… é essencialmente o único exemplo. Com efeito, todos os outros exemplos são variações deste. Por exemplo: 3,476 = 3,47599999999999999…