100 Problemas com José Paulo Viana

Ah, os problemas!                                    Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?                                    Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?                                    E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?                                    Pois é por estes três motivos que esta secção existe.     José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público

100 Problemas com José Paulo Viana - A Caixa dos Números

Temos uma caixa para guardar números que, inicialmente, estava vazia.

Quando faltava um minuto para o meio-dia, metemos lá os números de 1 a 10 e, simultaneamente, retirámos o 1.

Quando faltava meio minuto (1/2) para o meio-dia, metemos lá os números de 11 a 20 e retirámos o 2.

Quando faltava 1/3 de minuto para o meio-dia, metemos lá os números de 21 a 30 e retirámos o 3.

Quando faltava 1/4 de minuto para o meio-dia, metemos lá os números de 31 a 40 e retirámos o 4.

E assim sucessivamente. Sempre que faltava 1/n de minuto para o meio-dia, metíamos lá a enésima dezena (números de 10n-9 a 10n) e retirávamos o n. Tudo isto feito cada vez mais depressa, mais depressa, até que, plim!, chegámos ao meio-dia.

Este é um daqueles problemas que, claro, só pode existir na nossa imaginação mas que, lançado num grupo de pessoas que gostem de pensar, provoca sempre animadas discussões.

É que, qualquer que seja a resposta que nos deem, é sempre possível arranjar bons argumentos contra…

Se nos disserem que a caixa está vazia:

– Mas como? Cada vez que atuámos, a quantidade de números na caixa aumentou de nove unidades (inserimos dez números e retiramos um). A caixa foi ficando com cada vez mais números e, como fizemos isso uma infinidade de vezes, essa quantidade tende para infinito. A caixa não pode estar vazia.

Se nos disserem que a caixa não está vazia (mesmo que não nos digam o que lá possa estar):

– Mas como? Se a caixa não está vazia, é porque tem lá um ou mais números (mesmo que não saibamos quais). Seja K um desses números. Impossível! O número K não pode lá estar porque, quando faltava 1/K de minuto para o meio-dia, esse número foi retirado. Desta forma, todos os números acabaram por sair. Logo, a caixa está vazia.

E agora, leitor. Qual destas argumentações lhe parece mais consistente? As duas têm uma lógica que parece imbatível.

O paradoxo resulta da nossa dificuldade em lidar com o infinito. É que, lá, as regras não se aplicam bem da mesma maneira.

Para resolver o impasse, vamos tentar outra abordagem.

Peguemos noutro problema parecido com este.

Temos uma caixa e metemos lá todos os números naturais. Quando faltar um minuto para o meio-dia retiramos o 1, quando faltar 1/2 de minuto para o meio-dia retiramos o 2, quando faltar 1/3 de minuto para o meio-dia retiramos o 3, e assim sucessivamente.

Ao meio-dia, o que vai estar na caixa?

Penso que, neste caso, ninguém terá dúvidas: todos os números foram saindo e a caixa estará vazia.

Mas, agora, reparemos. Neste problema, metemos na caixa todos os números naturais e depois fomos retirando-os um a um. Ora, no problema inicial, os números também foram colocados todos na caixa (não de uma vez só, mas em prestações de dez…) e depois retirados um a um. 

Espero que, depois disto, ninguém tenha dúvidas. 

A caixa está vazia.