Se e Só Se por José Carlos Pereira

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião dezembro de 2015

               


Nesta coluna pretendo partilhar todos os meses a minha opinião sobre questões relacionadas com a Matemática e com o seu ensino. Os leitores são convidados a comentar, com argumentos a favor ou contra, aliás é esse o objectivo desta coluna: discutir diferentes pontos de vista sobre o tema do artigo (dia 3 de cada mês).


José Carlos da Silva Pereira – Professor de Matemática, autor de livros escolares e responsável pelo site Recursos para Matemática. Ler artigos anteriores aqui.



Se e Só Se por José Carlos Pereira - Rodando e Permutando - Parte II

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Título: Rodando e Permutando - Parte II



O artigo deste mês complementa o artigo do mês passado. Se o leitor não o leu, convido-o a fazê-lo antes de ler esta segunda parte. 


No final do artigo de Outubro deixei duas questões para serem respondidas pelos leitores. A primeira foi a seguinte: 


a) De quantas maneiras distintas (disposições distintas) se podem sentar os cinco amigos, a Alice (A), a Beatriz (B), a Carolina (C), o Diogo (D) e o Emanuel (E), numa mesa circular com cinco lugares igualmente espaçados e indistinguíveis, de modo que as raparigas fiquem todas juntas? 


Vamos começar por recorrer a um esquema semelhante aos já apresentados:




Os círculos cinzentos representam os lugares que as três raparigas podem ocupar. Mais uma vez se constata que estes cinco casos representam, na verdade, o mesmo caso (se o leitor reparar, em todos eles a Alice está sentada entre a Elisabete e a Beatriz) e como tal têm de ser contabilizados apenas uma vez. Para chegarmos à resposta à nossa questão basta então permutar as três raparigas nos círculos cinzentos e os dois rapazes nos círculos brancos, pelo que o número pedido é




Em geral, se tivermos um grupo de n amigos para sentar numa mesa circular com n lugares igualmente espaçados e indistinguíveis, de modo que p desses amigos fiquem juntos, o número de maneiras distintas de o fazer, isto é, o número de disposições distintas, é 




A segunda questão, dividida em duas, foi a seguinte:


b) De quantas maneiras distintas se podem sentar os cinco amigos numa mesa circular com cinco lugares distinguíveis, de modo que as raparigas fiquem todas juntas? Esta situação é similar à de sentar os cinco amigos num banco corrido com cinco lugares de modo que as raparigas fiquem todas juntas?


Nesta situação, os cinco casos representados no esquema deste artigo são distintos, uma vez que os lugares são distinguíveis, tendo de ser contabilizados como tal. Resta portanto permutar as três raparigas nos círculos cinzentos e os dois rapazes nos círculos brancos, para cada uma das cinco situações. A resposta à primeira parte da segunda questão é




Em geral, se tivermos um grupo de n amigos para sentar numa mesa circular com n lugares distinguíveis, de modo que p desses amigos fiquem juntos, o número de maneiras de o fazer é




É esta situação similar à de sentar os cinco amigos num banco corrido com cinco lugares de modo que as raparigas fiquem todas juntas? 


A resposta é não!


Num banco corrido, os dois últimos casos representados no esquema não satisfazem o problema. Então, nesse caso, o número de maneiras de sentar os cinco amigos de modo que as raparigas fiquem juntas é, apenas,




Como desafio, deixo ao leitor duas questões:


Considere dez professores, cinco de Matemática, três de Física e dois de Química.

  
1) De quantas maneiras distintas (disposições distintas) se podem sentar os dez professores numa mesa circular com dez lugares igualmente espaçados e indistinguíveis, de modo que os professores da mesma disciplina fiquem juntos? 


2) De quantas maneiras distintas se podem sentar os dez professores numa mesa circular com cinco lugares distinguíveis, de modo que os professores da mesma disciplina fiquem juntos?


Utilize a página do Facebook do Clube SPM para deixar o seu comentário sobre este tema e para deixar a sua resposta a estas duas questões.


Publicado/editado: 03/12/2015