(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos

Considere-se um cubo com um metro de aresta. Então a área da superfície do cubo são 6 m² e o cubo tem 1 m³ de volume. E se duplicarmos a aresta? Aí o cubo passa a ter uma superfície com 24 m² e 8 m³ de volume. Ou seja, ao duplicarmos a aresta, a área da superfície foi multiplicada por 4, enquanto que o volume foi multiplicado por 8. E isto não tem nada a ver com o comprimento original da aresta.

Mais geralmente, se multiplicarmos todas as dimensões (comprimento, largura e altura) de um objecto por um factor f, a área da superfície é multiplicada por f ² e o volume é multiplicado por f ³. E isto para qualquer objecto e não apenas um cubo. Este facto costuma designar-se pelo nome lei do quadrado-cubo.

Isto ajuda a perceber porque é que muito do que podemos ver em livros e em filmes sobre pessoas ou animais a mudarem de tamanho sem que nada de especial lhes aconteça é um disparate total. Imaginemos, por exemplo, as duas primeiras viagens de Gulliver. Na primeira, ele vai a um local (Lilliput) habitado por seres humanos minúsculos; digamos que têm um décimo do tamanho de Gulliver (em altura). Então têm um centésimo da superfície mas apenas um milésimo do volume. Mas isto é problemático, pois perdemos calor para o exterior através da pele. Sendo assim, comparativamente a Gulliver, os habitantes de Lilliput têm dez vezes mais pele por onde perder calor, pelo que acabam por morrer de hipotermia.

Na segunda viagem, Gulliver vai a Brobdingnag, onde ocorre o oposto: os habitantes são cerca de dez vezes mais altos do que Gulliver. Mas então têm mil vez o volume de Gulliver, mas somente cem vezes mais pele. Consequentemente, tais seres acabariam por ter problemas sérios por não arrefecerem suficientemente depressa.

Mas não seria o único problema desses seres. Já repararam que se ampliarmos um rato até ter o tamanho de um elefante, as patas serão muito mais finas que as do elefante? Assim, se um rato fosse realmente ampliado até ter o tamanho de um elefante, as pernas não aguentariam com o seu peso, uma vez que o peso é proporcional ao volume, enquanto que a resistência das pernas é proporcional à área da sua secção e, portanto, não cresce ao mesmo ritmo que o peso.

Esta observação não é propriamente a última descoberta da Ciência. Já foi feita por Galileu no seu último livro, Discursos e demonstrações matemáticas sobre duas novas ciências. Uma das duas ciências mencionadas no título é a da resistência dos materiais.

É interessante ver como uma ideia matemática tão simples tem tantas consequências.