100 Problemas com José Paulo Viana

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião maio de 2016




 

Ah, os problemas!                                        
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?                                        
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?                                        
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?                                        
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.

   

José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público


100 Problemas com José Paulo Viana - Ângulos perfeitos

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião maio de 2016                                                  

Clube de Matemática SPM


Título: 

Ângulos perfeitos


Há pequenas (mas às vezes difíceis) investigações sobre ângulos de polígonos que nos podem dar muito prazer. Uma das que gostei resulta do problema que se segue.


Disse a Alexandra:

Acabei de desenhar um triângulo e um quadrilátero em que ambos têm uma propriedade curiosa: as medidas dos seus ângulos, em graus, são quadrados perfeitos.


O Miguel, depois de pensar um pouco, acrescentou:

Pois eu consegui descobrir um quadrilátero com essa propriedade mas que, além disso, tem os seus lados com medidas que são também quadrados perfeitos. No que se refere a triângulos é que tal não é possível, embora tenha um que anda lá muito perto.


Caro leitor, quer tentar descobrir figuras destas?




O Triângulo da Alexandra


A soma dos ângulos de um triângulo é de 180ᵒ. Façamos a lista dos quadrados perfeitos até 180:
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169.


Se o maior ângulo medir 169, os outros dois têm de somar 11. Impossível.


Continuando desta forma, vemos que nem 144 nem 121 servem. Mas, com o 100, encontramos aquela que é a única solução:


Os ângulos do triângulo da Alexandra medem 100ᵒ, 64ᵒ e 16ᵒ. 

 




O Quadrilátero da Alexandra


A soma dos ângulos de um quadrilátero é de 360ᵒ. Temos então de considerar mais quadrados perfeitos:
196, 225, 256, 289, 324.


Se o maior ângulo for 324, faltam 36 para 360 e encontramos logo uma solução: 324, 16, 16, 4.


Se o maior ângulo for 256, outra solução: 256, 64, 16, 4.


Se o maior ângulo for 196, há duas soluções, uma das quais é 196, 64, 64, 36.




E poderíamos continuar, mas vemos já que há várias hipóteses para o quadrilátero da Alexandra.


O Quadrilátero do Miguel


Aqui, a investigação complica-se. Não é fácil controlar simultaneamente medidas de ângulos e de lados. Sobretudo porque, na maioria das vezes, para um certo conjunto de ângulos, a razão entre as medidas dos lados não é sempre um número racional.


Temos de ter uma ideia luminosa, aquilo a que Martin Gardner chamava um Ah, Ah!


Haverá algum tipo de quadrilátero em que se possam alterar medidas de lados sem que os ângulos mudem? Pois há! São os paralelogramos. Neles, podemos “esticar” ou “encolher” dois lados paralelos sem que os outros lados e os ângulos se alterem.


Ora, nesta classe de quadriláteros, os ângulos opostos são iguais. Logo, dois ângulos adjacentes somam 180ᵒ. Ou seja, basta-nos encontrar dois quadrados perfeitos com essa soma. E lá estão: 144 e 36.


 
Bastou escolher duas medidas para os lados que sejam quadrados perfeitos (e todos servem).


O Triângulo do Miguel


Como vimos, tem de ser um triângulo cujos ângulos meçam 100ᵒ, 64ᵒ e 16ᵒ.


Comecemos por admitir que o maior lado mede uma unidade. Se calcularmos as medidas dos outros lados (e, há muitos anos, escrevi um programazinho muito simples para a calculadora gráfica Ti83 que faz isto num instante), encontramos:


0,912 659 393 2   e   0,279 889 506 3.


Agora, multiplicamos tudo por um bilião, para o lado maior ficar a medir também um bilião (que é um quadrado perfeito).


Para encontrar o segundo lado, que deveria medir 912 659 393 200, calculamos a sua raiz quadrada:



Escolhemos então, para medida deste lado, o quadrado de 955332, que é 912 659 230 224.


Para o lado menor, procedemos da mesma forma.


 


e será o quadrado de 529046, que é 279 889 670 116.


Com estas três medidas de lados, os ângulos são “quase” quadrados perfeitos (erros da ordem de uma décima de segundo):

100,0000193  (100ᵒ 00’ 00,07”)

63,99997203  (63ᵒ 59’ 59,90”)

16,00000864  (16ᵒ 00’ 00,03”).

Não há dúvida, ficamos muito “perto”.

Nota final
Existem seis soluções para os quadriláteros com ângulos que são quadrados perfeitos. Para além das quatro já indicadas, temos ainda:

196-144-16-4  e  144-100-100-16.


Publicado/editado: 17/05/2016