Se e Só Se por José Carlos Pereira

A figura que inicia este artigo foi recortada do site brilliant.org, que já referi neste meu outro artigo. Quase todos os dias respondo a uma ou duas questões que vão aparecendo na página do Facebook do Brilliant, e esta foi uma delas. Escolhi a última opção quase automaticamente e prossegui com os meus afazeres. 

Passado algum tempo relembrei-me deste problema e voltei à página para ler alguns comentários e observar a tendência dos mesmos. Pude constatar que a grande maioria considerava que nas funções representadas nos “gráficos” das opções A, B e C existia 

pois os limites laterais no ponto a são iguais. No entanto, para alguns dos que comentaram, esse limite só existe nas funções representadas nos “gráficos” das opções A e B. 

Na verdade, uma resposta correcta também é “apenas A e B” – é tudo uma questão de definição!

A resposta “apenas A e B” está correcta à luz da Definição de Limite Segundo Heine do novo Programa de Matemática A do Ensino Secundário, que está actualmente em vigor no 10.º ano e que será estendido ao 11.º no próximo ano lectivo. Foi por causa dela que tive a curiosidade de voltar à página! Essa definição pode ser consultada  aqui - página 36 do documento das Metas Curriculares e duas das suas consequências são as seguintes:

Resumindo, se f é uma função real de variável real e a um ponto aderente ao seu domínio, no caso de  

é suficiente que os limites laterais sejam iguais (caso existam) para se afirmar que existe limite de f no ponto a. 

Já se 

não é suficiente que os limites laterais sejam iguais (caso existam) para se poder afirmar que existe limite de f no ponto a, além disso é necessário que sejam ambos iguais a f (a), isto é, f  tem de ser contínua no ponto a!

Assim sendo, tendo em conta esta definição, a função cujo “gráfico” está representado na opção C não tem limite no ponto a, pois apesar de os limites laterais no ponto a serem iguais, não são iguais a f (a).

Outro exemplo. Se consideramos a função g de domínio   

definida por:

0 é um ponto aderente ao domínio de g  e  

Como 

conclui-se que existe 

e que o seu valor é igual a 0. No entanto, alterando ligeiramente a função g de modo a zero pertencer ao seu domínio, definindo-a em

por exemplo, da seguinte forma:

o limite

já não existe, pois apesar de os limites laterais no ponto 0 serem ambos iguais a 0, não são iguais a g (0), que é igual a 1. 

Quando estava prestes a terminar a redacção deste artigo, surgiu no Brilliant a seguinte questão:

Para o Brilliant, que tem milhões de utilizadores de quase todos pontos do globo, a resposta correcta é a assinalada a verde. Note-se que a resposta não foi contestada por nenhum dos que comentaram! Para eles e para os responsáveis do site a definição de limite é a usada no Programa de Matemática A do Ensino Secundário que ainda se encontra em vigor nos 11.º e 12.º anos e não outra. Portanto, em Portugal, esta ainda é a resposta correcta, mas daqui a uns meses passará a ser outra, a terceira: “nenhum existe”!    

Em termos práticos, no cálculo de limites nada irá mudar. As conclusões é que serão, em alguns casos, diferentes daquelas a que estamos habituados, como o leitor pôde verificar no exemplo anterior. Acredito que esta “nova” definição, que não é usada pela generalidade dos autores, venha a criar alguma confusão, principalmente nos primeiros tempos. Mas foi por ela que os autores do programa optaram pelo que teremos de nos habituar, pelo menos enquanto este estiver em vigor!

Convido o leitor a deixar o seu comentário sobre este artigo na página do Facebook do Clube SPM.