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Ah, os problemas!
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público |
O infinito e o contínuo podem levantar questões bem interessantes e dar origem a paradoxos nem sempre fáceis de ultrapassar. Vamos ver dois desses casos.
A reta contínua
Pergunta: Há espaço “livre” entre os pontos de uma reta?
A resposta só pode ser ”Não”. A reta é um contínuo de pontos sem espaços vazios entre eles.
Logo, os pontos ocupam todo o espaço da reta.
Pergunta: Os pontos tocam-se? Ou melhor, haverá pontos que se tocam?
Como vimos antes, se não há espaços vazios entre pontos, então eles têm de se tocar.
Ora, se se tocam, cada ponto tem um vizinho encostado a ele. Mas, sabemos que, dados dois pontos distintos existe sempre outro ponto entre eles, por exemplo, o ponto médio (na realidade até existe uma infinidade de pontos entre dois quaisquer).
Então, não podem existir dois pontos que se toquem…
Mas, se não há pontos que se toquem, há espaços vazios…
O segmento dividido
Temos um segmento de reta e vamos dividi-lo (fazendo uma partição) em dois segmentos iguais.
Pergunta: De que lado fica o ponto médio?
Esta questão foi colocada por António Fernandes, numa conferência que fez num ProfMat. Que resposta lhe podemos dar?
Comecemos por notar que o ponto médio de um segmento existe sempre.
Pode ficar do lado esquerdo (ou do direito)? Não, esse lado ficaria beneficiado… e os dois segmentos não seriam iguais.
Pode ficar dos dois lados? Não, estaríamos a repetir um ponto, não seria uma partição.
Não fica em lado nenhum? Não, estaríamos a perder um ponto.
Como ultrapassar este paradoxo?
Por outro lado, sabemos que qualquer segmento de reta tem sempre dois pontos-extremidade. Logo, os dois segmentos que obtemos ao dividir o segmento inicial têm de ter pontos-extremidade e, dando nomes a esses pontos, podemos chamar, por exemplo, [AB] e [CD] aos segmentos.
Avancemos então um pouco mais para ver o que aconteceria se quiséssemos juntar os dois segmentos para formar o original.
Ao uni-los, ou as duas extremidades coincidiam e o segmento total ficava com um ponto repetido, ou essas duas extremidades eram encostadas uma à outra, mas sabemos que dois pontos de uma reta (ou de um segmento) não se podem tocar.
Conclusões: É impossível dividir um segmento de reta em duas partes distintas. É impossível juntar dois segmentos num só sem sobreposição!
O melhor é ir ler Fernando Pessoa…