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Ah, os problemas!
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público |
IGUALDADES COM QUADRADOS
É sempre possível obter duas somas iguais com quadrados de números em sequência. Vejamos os exemplos mais curtos:
32 + 42 = 52
102 + 112 + 122 = 132 + 142
212 + 222 + 232 + 242 = 252 + 262 + 272
O professor suíço Jérôme Gavin mostrou que para se obter uma igualdade destas com n termos no segundo membro, o primeiro elemento tem de ser da forma 2n2 + n.
Para n=4 vem 2×42 + 4 = 36 e portanto a igualdade seguinte será
362 + 372 + 382 + 392 + 402 = 412 + 422 + 432 + 442
POTÊNCIAS SEM REPETIÇÃO
Para quase todos os números, as suas potências de expoente 3 e 4 têm, no seu conjunto, algarismos repetidos. Por exemplo: 133 = 2197 e 134 = 28561 têm repetidos os algarismos 1 e 2.
Só há quatro números em que isto não acontece.
23 = 8 e 24 = 16
33 = 27 e 34 = 81
83 = 512 e 84 = 4096
Mas o último, o 18, é ainda mais especial. Não só não há repetição de algarismos como, ainda por cima, aparecem todos os dez algarismos:
183 = 5832 e 184 = 104976
NÚMERO DE OURO E SEQUÊNCIAS
O número de ouro é
Construamos a sequência formada pelas partes inteiras dos múltiplos de . Como temos:
A sequência será
1, 3, 4, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 16, 17, 19, 21, 22, 24, 25, 27, …
Seja agora o quadrado do número de ouro:
Construamos também a sequência formada pelas partes inteiras dos seus múltiplos. Como temos:
A sequência será
2, 5, 7, 10, 13, 15, 18, 20, 23, 26, 28, 31, 34, 36, 39, …
Ora esta sequência é formada precisamente pelos números que não fazem parte da primeira.
TRIÂNGULOS DE FLEENOR-HERON
Dizemos que um triângulo é de Heron se a medida dos seus lados for um número inteiro e se a sua área for também um número inteiro. Se, além disso, os comprimentos dos lados forem números inteiros consecutivos, dizemos que o triângulo é de Fleenor-Heron.
Existe uma infinidade de triângulos de Fleenor-Heron. O menor deles, e o mais conhecido, é o famoso triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 e de área 6.
Os seguintes são:
Lados: 13, 14, 15; área: 84. Lados: 51, 52, 53; área: 1170.
Lados: 193, 194, 195; área: 16296. Lados: 723, 724, 725; área: 226974.
Os leitores interessados poderão encontrar um artigo de Vu Dong Tô sobre este assunto na revista Journal of Recreational Mathematics, vol. 32, nº 4.
MESMA SOMA E MESMO PRODUTO
Os matemáticos, durante as suas investigações, por necessidade ou por simples curiosidade, vão descobrindo relações entre números. Vejam estes conjuntos de três números (ou ternos) com a particularidade de terem a mesma soma e o mesmo produto.
Quatro ternos de soma 118 e produto 37800:
(14, 50, 54), (15, 40, 63), (18, 30, 70), (21, 25, 72).
Melhor ainda, cinco ternos com a mesma soma (185) e o mesmo produto (83160):
(11, 84, 90), (12, 63, 110), (15, 44, 126), (18, 35, 132), (22, 28, 135).
RAÍZES QUADRADAS
Com exceção dos quadrados perfeitos (1, 4, 9, 16, 25, 36, …), as raízes quadradas dos outros números naturais são números irracionais com uma dízima infinita não periódica em que os números parecem suceder-se ao acaso. Ou melhor, mesmo se conhecermos os dez ou cem ou mil primeiros algarismos (e não continuarmos o cálculo), não temos qualquer ideia de qual será o algarismo seguinte.
Por exemplo, a raiz quadrada de 2 é: 1,414213562373095048016887…
Observando simplesmente estes algarismos, nada podemos concluir sobre qual será o algarismo que vem a seguir ao último 7.
Contudo, de vez em quando há surpresas. Veja-se a raiz quadrada de 308 642:
555,55557777777733333335111111022222…
Mas, daqui para a frente já os algarismos voltam a aparecer de forma caótica.
(Adaptado de um capítulo do livro “Uma Vida Sem Problemas”, J.P. Viana, Ed. Clube do Autor, 2012)