(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião setembro de 2016
Publicado a 21 de Setembro de 2016

 


A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado.                                          

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP                                 


Dia 21 de cada mês

                 


(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Vendo somas

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Título: Vendo somas


Neste texto, iremos abordar um tópico que tem pontos em comum com o que foi abordado no texto sobre Geometria e Álgebra: como calcular certas somas geometricamente. Por exemplo, qual é o resultado de se somarem os n primeiros números naturais (1 + 2 + … + n)? A resposta é n×(n + 1)/2. Vejamos como é possível uma pessoa convencer-se disso com figuras. Uma maneira de visualizarmos a soma dos 4 primeiros números naturais é a seguinte:


Outra maneira de visualizarmos a soma dos primeiros quatro números é a seguinte:


E se juntarmos estas duas visualizações? Aí obtemos isto:


Ou seja, obtemos um rectângulo de 4 por 5 quadrados, o qual é então formado por 20 quadrados. Sendo assim,


2x(1 + 2 + 3 + 4) = 4x5.


Mas o que foi feito aqui com o número 4 funciona com qualquer número, pelo que


2x(1 + 2 + ... + n) = nx(n + 1).


Aliás, o que foi feito aqui não exige que se comece com o número 1. Por exemplo, quanto é 3 + 4 + 5 + 6 + 7? Pelo mesmo motivo, é metade do número de quadrados da seguinte figura:


Esta figura tem 10×5 quadrados, onde a origem do 10 consiste em ser a soma de 3 com 7, enquanto que 5 é o número de parcelas. Sendo assim, pelo mesmo motivo, se tivermos n números consecutivos a, a + 1, …, b, a sua soma é metade de (a + bn.


Vejamos outro problema semelhante: quanto dá a soma dos primeiros números naturais ímpares? Este problema pode ser abordado de uma maneira semelhante à anterior, mas vamos ver outro método. Uma maneira de visualizarmos 1 + 3 é a seguinte:


Podemos visualizar 1 + 3 + 5 do seguinte modo:


E podemos visualizar 1 + 3 + 5 + 7 assim:



Prosseguindo deste modo, fica bastante claro que a soma dos n primeiros números naturais ímpares é n2.


Para terminar, vejamos como ilustrar o facto de a soma dos n primeiros cubos ser igual ao quadrado da soma dos n primeiros números, ou seja que


13 + 23 + … + n3 = (1 + 2 + … + n)2


Para começar, 13 = 1. Quanto a 23, vamos encará-lo como 2×22. Geometricamente, vamos ver isto como dois quadrados com duas unidades de lado. Desses dois quadrados, partimos um a meio. Juntando isto a um quadrado com uma unidade de lado, obtemos:


Assim, vê-se que 13 + 23 = 33 = (1 + 2)2. Passemos a 33, que será visto como 3 quadrados com 3 unidades de lado. Juntando estes quadrados à figura anterior, obtemos:


Temos assim que 13 + 23 + 33 = 62 = (1 + 2 + 3)2. Agora, como é que acrescentamos à figura 4 quadrados de lado 4? Como há pouco, partindo um deles a meio, obtendo-se:


Está então visto que 13 + 23 + 33 + 43 = 102 = (1 + 2 + 3 + 4)2. Prosseguindo assim, vê-se que a soma dos n primeiros cubos é o quadrado da soma dos n primeiros números.