100 Problemas por José Paulo Viana

Os favos construídos em cera pelas abelhas formam duas camadas opostas de alvéolos. 

Como a cera é fabricada pelas abelhas, por uma questão de economia será de todo o interesse para elas construir alvéolos regulares, iguais, firmes e com a maior capacidade possível para uma certa quantidade de cera.

Os alvéolos assemelham-se a prismas hexagonais regulares e retos. Das várias figuras regulares com a mesma área que pavimentam o plano, é realmente o hexágono aquele que tem menos perímetro e que, portanto, garante um maior rendimento. As abelhas fizeram a melhor opção porque, com o hexágono, poupam cerca de 20% de cera em relação ao triângulo e 8% em relação ao quadrado.

Durante centenas de anos, acreditou-se que os prismas tinham bases planas. Foi só no início do século XVIII que se descobriu que o fundo dos alvéolos afinal não era plano mas sim formados por três losangos iguais, cada um pertencendo a dois alvéolos opostos.

Vemos aqui uma camada de alvéolos com as bases formadas por losangos. Na camada oposta, os alvéolos partilharão a mesma base mas estarão desalinhados destes. Cada alvéolo de uma camada encaixa em três da camada oposta.

Em 1712, o astrónomo Giacomo Maraldi mediu cuidadosamente o maior ângulo de cada losango: 109º28’.

Em 1739, o físico francês René-Antoine Réaumur suspeitou que as abelhas usavam aquela forma para o fundo de modo a minimizar a cera utilizada. Sem lhe explicar a origem do problema, pediu ao matemático alemão Samuel Konig que o resolvesse.

Com recurso à Análise Infinitesimal e usando uma tábua de logaritmos, este chegou à conclusão que o ângulo ideal para o losango era de 109º26’.

A precisão das abelhas era impressionante visto o erro ser pequeníssimo (0,03%).

Uns anos depois deu-se o naufrágio de um barco. Ao ser feita a investigação sobre as causas do desastre, verificou-se que os cálculos sobre o rumo a seguir pelo navio estavam corretos mas o resultado estava errado porque a tábua de logaritmos usada tinha incorreções.

Ora, nessa época, os marinheiros usavam a mesma tábua de logaritmos de que Konig se tinha servido. Por isso, em 1743, Colin MacLaurin decide refazer os cálculos, agora com uma tábua correta, e conclui que o ângulo ideal do losango é 109º28’.

Afinal, quem tinha razão eram as abelhas…

Notas 

 
Encontrei estes factos no livro “L’Univers des Nombres”, de Hervé Lehning (Ixelles Éditions, 2013) e confirmei os cálculos em “A Matemática na Vida das Abelhas”, de Ana Vieira et al. (APM, 1997). 

 
No YouTube, há um bom e curto filme sobre este assunto.