Se e Só Se por José Carlos Pereira
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião novembro de 2016
Publicado a 03 de Novembro de 2016

               


Nesta coluna pretendo partilhar todos os meses a minha opinião sobre questões relacionadas com a Matemática e com o seu ensino. Os leitores são convidados a comentar, com argumentos a favor ou contra, aliás é esse o objectivo desta coluna: discutir diferentes pontos de vista sobre o tema do artigo (dia 3 de cada mês).


José Carlos da Silva Pereira – Professor de Matemática, autor de livros escolares e responsável pelos sites Recursos para Matemática e MathSucess. Ler artigos anteriores aqui.



Se e Só Se por José Carlos Pereira - Sobre os Termos do Binómio de Newton

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião novembro de 2016

 

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Título:  Sobre os Termos do Binómio de Newton


É usual que um texto que tenha como pano de fundo o binómio de Newton comece com o famoso poema de Álvaro de Campos, heterónimo de Fernando Pessoa:


O binómio de Newton é tão belo como a Vénus de Milo. 


O que há é pouca gente para dar por isso.


óóóó — óóóóóóóóó — óóóóóóóóóóóóóóó


(O vento lá fora).


É difícil encontrar alguém ligado à Matemática que não encontre beleza na fórmula do binómio de Newton:






Pessoalmente até prefiro a fórmula do binómio de Newton escrita na sua forma não condensada, isto é, escrita sem o auxílio do símbolo de somatório:




Se particularizarmos, por exemplo para n = 5, a sua beleza ainda se torna mais evidente. Um olho atento reparará que os expoentes de a decrescem de 5 até 0, enquanto que os expoentes de b crescem de 0 até 5, ou que os coeficientes dos termos são exactamente os elementos da linha 5 do triângulo de Pascal:



Claro que (a + b)5 = (b + a)5 pelo que também podemos escrever:




Neste caso são os expoentes de b que decrescem de 5 até 0, enquanto que os de a crescem de 0 até 5.


Muito se pode escrever sobre o binómio de Newton, desde a sua estreita relação com o triângulo de Pascal até às suas várias aplicações. No entanto, este artigo não surgiu com essa intenção, mas sim com a de olhar um determinado tipo de exercícios que normalmente é proposto no 12.º anos, altura em que o tema do binómio de Newton é abordado.


O exercício seguinte é desse tipo:


Qual é o quarto termo do desenvolvimento



Esta pergunta surge por que se identifica o termo da forma 




como o termo de ordem p+1. Percebo que tendo em conta a forma como a fórmula do binómio de Newton é apresentada, se faça esta identificação.


Todavia, essa identificação não faz sentido e consequentemente este tipo de exercício também não. Vejamos.


A resposta não é única. Pode ser 




mas também pode ser




pois (x + 3)7 = (3 + x)7, ou então qualquer outro termo do desenvolvimento, visto que a soma é comutativa. Como dizia há dias um amigo meu com alguma piada, “o termo de ordem quatro é o que eu escrever em quarto lugar!”. Para fazermos este tipo de perguntas teríamos de estabelecer a priori que



é o termo de ordem p + 1 do desenvolvimento (a + b)n, mas isso seria apenas um artificialismo.


Por curiosidade fui ver se no novo Programa de Matemática A do Ensino Secundário se referem a



como o termo de ordem p + 1. No programa, e bem, essa referência não é feita, mas no caderno de apoio está lá uma questão deste tipo. Acredito que tenho sido por lapso! 


Em suma,  



não é o termo de ordem p + 1 do desenvolvimento (a + b)n é sim a forma geral dos seus termos. Qualquer termo pode ser o de ordem p + 1, pelo que questões deste tipo devem ser evitadas. 


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