(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião novembro de 2016
Publicado a 21 de Novembro de 2016

 


A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado.                                            

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP                                   


Dia 21 de cada mês

                 


(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Matemática e pássaros

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião novembro de 2016

Clube de Matemática SPM

Facebook Clube SPM

Título: Matemática e pássaros




Vamos começar com um problema:


Um homem comprou 30 pássaros de três espécies: perdizes, pombos e pardais. Sabendo que gastou 30 euros, que cada perdiz custou 3 euros, que cada pombo custou 2 euros e que cada pardal custou ½ euro, quantos pássaros de cada tipo é que ele comprou?


Para uma pessoa com uma formação matemática moderna, pode parecer que faltam dados a este problema. Com efeito, é natural que o vejamos como um problema de Álgebra que leva a um sistema de duas equações lineares e três incógnitas. De facto, se e for o número de perdizes, se o for o número de pombos e se a for o número de pardais, então o facto de o homem ter comprado 30 pássaros exprime-se pela equação e + o + a = 30, enquanto que os dados relativos ao custo dos pássaros se exprimem por 3e + 2o + a/2 = 30. Ora um sistema de três equações lineares e duas incógnitas tem, em geral, uma infinidade de soluções. E quando não tem uma infinidade de soluções, então não tem nenhuma. Mas ao reduzirmos o problema àquelas duas equações estamos a esquecer duas informações que constam do enunciado:


•    Está implícito que o homem comprou pássaros inteiros e não partes de pássaros. Por isso, está-se à procura de soluções inteiras não negativas.


•    É afirmado que comprou pássaros de três espécies. Por isso, não só as soluções têm que ser inteiras e não negativas, como têm que ser números naturais.


Vejamos como resolver este problema. Se multiplicarmos a primeira equação por 3 e lhe subtrairmos a segunda, ficamos com o + 5a/2 = 60. E se multiplicarmos a primeira equação por 2 e lhe subtrairmos a segunda, ficamos com –e + 3a/2 = 30. Multiplicando ambas as igualdades por 2, para não termos que lidar com fracções, e exprimindo o e e em função de a, obtemos 2o = 120 – 5a  e  2e = 3a – 60.


E agora é a altura de recorremos ao facto de as nossas quantidades serem números naturais. Visto que 2o = 120 – 5a e que o é natural, 120 – 5a é um número natural par. Mas também é múltiplo de 5 (pois 120 – 5a = 5×(24 – a)). Logo, 120 – 5a ≥ 10, ou seja, 24 – a ≥ 2. Conclusão: a ≤ 22. Por outro lado, como 2e = 3a – 60, como e é natural, e como 3a – 60 é múltiplo de 3, 3a – 60 ≥ 6, ou seja, a ≥ 22. Mas já tínhamos visto que a ≤ 22. Logo, o homem comprou 22 pardais, 5 pombos e 3 perdizes.


Fiz referência acima à «formação matemática moderna», mas este problema de moderno não tem nada. Surge no Liber Abaci, escrito por Fibonacci no início do século XIII (já agora, a moeda com que Fibonacci trabalhava era o denário). Só que Fibonacci não o podia resolver pelo método atrás indicado, pois não dispunha da notação algébrica que foi empregue. E os seus leitores também não.


Então como é que Fibonacci resolve o problema? Ele observa que quem comprar uma perdiz e quatro pardais terá comprado cinco pássaros por cinco denários e que quem comprar um pombo e dois pardais terá comprado três pássaros por três denários. Como é que é possível obter trinta a partir de um ou mais grupos de cinco coisas e de um ou mais grupos de três coisas? Só há uma maneira: três grupos de cinco mais cinco grupos de três. Logo, o homem compra três grupos do primeiro tipo (uma perdiz e quatro pardais) e cinco grupos do segundo (um pombo e dois pardais), o que dá um total três perdizes, cinco pombos e vinte e dois pardais. Foi o mesmo resultado que foi obtido atrás, mas sem Álgebra.


Não é necessária muito intuição matemática para se perceber que, ao contrário deste exemplo, um problema deste tipo não tem necessariamente uma e uma só solução. Pode não ter nenhuma e pode ter mais do que uma, como Fibonacci sabia. E sabemos que ele o sabia porque numa carta que ele escreveu aborda precisamente esta questão. Aí, ele menciona este problema:


Um homem comprou 29 pássaros de três espécies: pardais, rolas e pombas. Sabendo que gastou 29 denários, que 3 pardais custam 1 denário, que 2 rolas custam 1 denário e que cada pomba custa 2 denários, quantos pássaros de cada tipo é que ele comprou?


Uma solução deste problema é: comprou 12 pardais, 6 rolas e 11 pombas. E outra solução é: comprou 3 pardais, 16 rolas e 10 pombas. Fibonacci encontrou ambas.

Fibonacci também considera este problema:


Um homem comprou 15 pássaros de três espécies: pardais, rolas e pombas. Sabendo que gastou 15 denários, que 3 pardais custam 1 denário, que 2 rolas custam 1 denário e que cada pomba custa 2 denários, quantos pássaros de cada tipo é que ele comprou?


Neste caso, Fibonacci explica que o problema não tem solução. E também explica que, caso estejamos dispostos a lidar com fracções de pássaros, então tem solução. Por exemplo: quatro pardais e meio, cinco rolas e cinco pombas e meia.


E tudo isto sem usar letras no lugar de números!