(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião dezembro de 2016
Publicado a 21 de Dezembro de 2016

 


A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado.                                             

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP                                    


Dia 21 de cada mês

                 


(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Um número par e um número ímpar podem ser amigos?

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Título: Um número par e um número ímpar podem ser amigos?


Considere o número 220. Os seus divisores próprios (ou seja, os divisores diferentes do próprio 220) são 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110. Se os somarmos a todos, o resultado é outro número: 284. Agora vejamos o que acontece se fizermos o mesmo com o número 284. Este número tem menos divisores próprios que o anterior; são somente estes: 1, 2, 4, 71 e 142. Se os somarmos a todos, voltamos ao ponto de partida: 220.


Curioso, não é verdade? É tão curioso que foi criado um nome para pares de números nestas condições: números amigos. Para não deixar margem para dúvidas: dois números distintos dizem-se amigos se cada um deles for a soma dos divisores próprios do outro. Escrevi aqui «distintos» porque os números amigos deles próprios já têm um nome: são os números perfeitos, que já foram abordados nesta rubrica.


E que mais exemplos há de pares de números amigos? Durante séculos só se conhecia este par, ao qual foram atribuídos numerosos significados místicos. Novos exemplos foram descobertos em França no século XVII: Fermat descobriu o par formado por 17.296 e por 18.416, enquanto que Descartes descobriu o par formado por 9.363.584 e por 9.437.056. Deve ter sido muito satisfatório para ambos terem descoberto dois novos pares de números amigos após tantos séculos conhecendo somente um tal par. Mas estavam enganados quanto à novidade da descoberta. De facto, o primeiro destes pares já era conhecido desde o século IX, quando foi descoberto pelo matemático de Bagdad Thābit ibn Qurra. O segundo destes pares foi descoberto por outro matemático do actual Irão, Muhammad Baqir Yazdi, somente algumas décadas antes de ser redescoberto por Descartes.


Dada a maneira como estes números estão a crescer, é razoável que se pense que os pares de números amigos se tornam rapidamente pares de números muito grandes. Mas não é esse o caso. É verdade que o par formado por 220 e por 284 é o menor par de números amigos, mas o par formado por 17.296 e por 18.416 não é o segundo menor desses pares.


Os primeiros pares novos de números perfeitos após estes três só surgiram no século XVIII, pela mão de Euler. E Euler não esteve com meias medidas: de uma assentada, forneceu 58 novos pares de números amigos! De facto, até forneceu 60, mas em dois dos casos ele estava enganado. Ao contrário do que possa por vezes parecer, Euler era somente humano.


Um dos muitos exemplos de pares de números amigos fornecidos por Euler foi o par formado por 5020 e por 5564, que, como se pode ver, é menor do que o par obtido por ibn Qurra e redescoberto por Fermat. Outro exemplo interessante de um par de números amigos que Euler obteve é formado por 69.615 e por 87.633. O que este par tem de interessante é que os números em questão são ímpares; os três exemplos conhecidos antes de Euler eram todos formados por dois números pares.


Só que nem mesmo Euler conseguiu descobrir o segundo menor par de números amigos. Este viria a ser descoberto somente em 1866 por um adolescente de 16 anos chamado… Niccolò Paganini (não, não se trata do violinista). Esse par é formado pelos números 1.184 e 1.210. Já agora, o mais pequeno par de números amigos ímpares é formado pelos números 12.285 e 14.595, que também não foi detectado por Euler.


Graças aos computadores, por um lado, e aos avanços teóricos, por outro lado, hoje em dia conhecem-se mais de mil milhões de pares de números amigos. E constatam-se duas coisas:


 não se conhece nenhum caso de números amigos primos entre si;


 não se conhece nenhum caso de números amigos dos quais um seja par e o outro ímpar.


Será que é sempre assim? Não se sabe. Mas até há pouco tempo houve motivos para acreditar que se dois números são amigos, então o menor factor primo de ambos é o mesmo. Se assim fosse, resultaria imediatamente que dois números amigos têm sempre um factor primo em comum e, além disso, se um deles fosse par, como o seu menor factor primo seria 2, então 2 também seria factor primo do outro, pelo que ambos seriam pares. Consequentemente, se alguém conseguisse provar que o menor factor primo de quaisquer dois números amigos coincide, teria automaticamente resolvido simultaneamente dois problemas em aberto relativos a números amigos.


Mas esta possibilidade foi eliminada no início de 2016, quando foram finalmente descobertos (por computador) dois números amigos cujos menores factores primos são distintos: 445.953.248.528.881.275 (cujo menor factor primo é 3) e 659.008.669.204.392.325 (cujo menor factor primo é 5). Mais correctamente, um computador descobriu este exemplo em Outubro de 2015, mas somente em Janeiro de 2016 é que um ser humano se apercebeu desse facto.


Em particular, fica a questão que serviu de título a este texto: um número par e um número ímpar podem ser amigos?