(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião fevereiro de 2017
Publicado a 21 de Fevereiro de 2017

 


A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado.                                               

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP                                      


Dia 21 de cada mês

                 


(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Convenções

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Título: Convenções


O tema deste texto são as convenções que são empregues em Matemática. Isto pode parecer um tópico muito insípido, mas por vezes leva a discussões muito acaloradas.


Vejamos um exemplo: a divisão do círculo em 360 unidades, cada uma das quais se designa por «grau» e, além disso, a divisão dos graus em 60 minutos e a divisão destes em 60 segundos? Porquê 360 e porquê 60? Neste caso, a razão é de origem histórica: vem da antiga Babilónia, onde foi desenvolvido um sistema de numeração em base 60, o que faz que seja natural dividir cada unidade em 60 sub-unidades, tal como nós dividimos o centímetro em 10 milímetros. E porquê 360 para o círculo? Não se sabe, mas há vários motivos para ver esta escolha como natural. É que, por um lado, 360 é um número com muitos divisores, o que torna fácil falar em fracções de círculo. Por outro lado, é um múltiplo de 60, o que faz dele uma escolha natural para a numeração da Babilónia. Finalmente, há uma justificação relativa à Astronomia: é que 360 está próximo de 365, ou seja, do número de dias do ano. Isto torna esta escolha conveniente para observações astronómicas.


Mas é só isso. É uma escolha conveniente. A escolha poderia ter sido outra e, de facto, há outras opções. Para além da divisão do cículo em radianos, também há a divisão em grados (um círculo completo correspondendo a 400 grados), a qual surgiu em França no tempo da implementação do sistema métrico, mas que acabou por não ter sucesso. Pode-se ver abaixo uma bússola dividida em 400 grados.




Suponho que poucos leitores achem estranho que a divisão do círculo em 360 partes iguas seja apenas uma convenção. Em outros casos, não é assim tão simples. Vejamos alguns exemplos.


Uma definição apressada de número primo poderá ser esta: um número natural é um número primo se não tiver outros divisores além de 1 e dele próprio. Só que, segundo esta definição, 1 é um número primo. Normalmente, define-se um número primo como sendo um número natural maior do que 1 que não tem outros divisores além de 1 e dele próprio. Acontece que diversos matemáticos ao longo da história consideraram que 1 é um número primo. Entre estes contam-se Derrick Norman Lehmer (um especialista em Teoria dos Números) e Henri Lebesgue. Um bom motivo para que não se considere 1 como sendo primo reside nos numerosos teoremas sobre números primos a cujos enunciados se teria que acrescentar a hipótese «diferente de 1» caso contrário. Por exemplo, deixaria de ser verdade que cada número pode ser escrito de uma e uma só maneira como produto de primos (fora a ordem dos factores). Afinal,


6 = 2×3 = 1×2×3=1×1×2×3

e assim por diante.


E o número 0? Deve ou não ser considerado um número natural? Mais uma vez, é uma questão de convenção. Por exemplo, a convenção mais geralmente adoptada pelos informáticos teóricos é a de que 0 é um número natural. Mas é algo que varia muito de país para país.


Ainda relativamente a 0, uma questão interessante é a de saber que valor atribuir a 00. No contexto de Cálculo Infinitesimal, é uma indeterminação. No entanto, em Combinatória 00 = 1, para que, por exemplo, o binómio de Newton continue a fazer sentido mesmo quando um dos números envolvidos é 0.


Outro exemplo provém do conceito de rectas paralelas. Uma recta é paralela a si própria? Segundo o programa de Matemática actualmente em vigor, a resposta é negativa, mas era afirmativa em outros programas.


Dito isto, as convenções não são arbitrárias. Algumas são mais cómodas do que outras. Já foi visto isso no caso da primalidade de 1. Quanto à divisão do círculo em 400 unidades e não em 360, também há bons motivos para isso. Por exemplo, os ângulos de 30º e de 60º, que surgem frequentemente em Geometria, não se exprimem como um número inteiro de grados, o que é um argumento contra o seu uso.


Finalmente, visto que se tratam de convenções, nunca há uma justificação perfeitamente matemática para o seu uso. O que não significa de maneira alguma que qualquer convenção é tão adequada quanto qualquer outra.