100 Problemas por José Paulo Viana
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião março de 2017
Publicado a 17 de Março de 2017


100 Problemas por José Paulo Viana - Um ponto no triângulo

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião março de 2017                                                          

Clube de Matemática SPM


Título: UM PONTO NO TRIÂNGULO


Os lados AB, BC e CA de um triângulo medem 21, 17 e 10 centímetros, respetivamente.
Um ponto P do interior do triângulo está a 4 centímetros de AB e a 2 de BC.
Qual é a sua distância a CA?




Um dos aspetos de que gosto neste problema é que, quando se começa a pensar nele, nem se sabe bem por onde avançar (pelo menos, foi o que aconteceu comigo…). Parece que a única via é fazer cálculos fastidiosos com quadriláteros e triângulos não retângulos.


No entanto, existe uma resolução muito simples, desde que se conheça a área do triângulo ABC. Não sabemos nenhuma das suas alturas mas, como vimos na edição anterior desta secção (http://www.clube.spm.pt/arquivo/5052), existe a fórmula de Heron para a área de um triângulo, conhecidos os seus lados a, b e c. Se s for o semiperímetro, ou seja, s=1/2 (a+b+c), será 




No nosso caso, s = 24 e vem




Tracemos os segmentos PA, PB e PC, que dividem o triângulo inicial em três triângulos.




As suas áreas são:


AABP =1/2×21×4=42

ABCP =1/2×17×2=17

AACP =84-42-17=25

Usando agora a fórmula da área do ΔACP, temos


1/2×10×x=25

e vem x=5.


O ponto P está a 5 centímetros do lado CA.


Fácil, não é?