Se e Só Se por José Carlos Pereira
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião junho de 2017
Publicado a 03 de Junho de 2017

               


Nesta coluna pretendo partilhar todos os meses a minha opinião sobre questões relacionadas com a Matemática e com o seu ensino. Os leitores são convidados a comentar, com argumentos a favor ou contra, aliás é esse o objectivo desta coluna: discutir diferentes pontos de vista sobre o tema do artigo (dia 3 de cada mês).


José Carlos da Silva Pereira – Professor de Matemática, autor de livros escolares e responsável pelo site Recursos para Matemática. Ler artigos anteriores aqui.



Se e Só Se por José Carlos Pereira - Eu não jogo no Euromilhões

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião junho de 2017

 

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Título:  Eu Não Jogo No Euromilhões!


Todos sabemos o que é o Euromilhões e em que consiste. É talvez o mais popular de todos os jogos que a Santa Casa da Misericórdia de Lisboa disponibiliza. Grande parte de nós já pensou: “e se me saísse o Euromilhões? O que faria?”. Muito dificilmente serei contemplado pelo primeiro prémio deste jogo, visto que raramente jogo. Já o leitor que aposta todas as semanas tem um bocadinho mais de hipóteses de ganhar, mas pouco mais, pouquíssimo mais!


Tenho vários amigos, cuja vida os afastou da Matemática, que me perguntam se há alguma fórmula “matemágica” que lhes permita escolher os números certos de modo a ganharem o primeiro prémio. Normalmente respondo que se essa fórmula existisse, eu já a teria utilizado. Várias vezes! Depois de lhes destruir os seus sonhos e baixar as expectativas, ainda sou um pouco mais perverso e digo-lhes: “não só não há nenhuma fórmula como a probabilidade de ganhares o Euromilhões é virtualmente zero!”. A seguir explico-lhes a razão, contando o número de chaves possível.


Começo pelo mais simples, que é contar o número de combinações de estrelas. Temos de escolher duas estrelas entre doze. Para facilitar, uso o método da escolha sucessiva: para a primeira estrela temos doze escolhas possíveis e para a segunda já só temos onze, ou seja, temos 12x11 maneiras distintas de o fazer. Mas como a ordem de escolha é irrelevante, isto é, escolher estrela 2 e em seguida a 9 é igual a escolher primeiro a 9 e em seguida a 2. Assim temos de dividir o número 12x11 por dois, concluindo que o número total de combinações de estrelas que podemos formar é 12x11 a dividir por 2, existindo assim 66 combinações distintas de estrelas.


Nesta altura ainda têm alguma esperança de eu estar enganado, afinal 66 combinações distintas de estrelas não é assim muito.


Usando o mesmo método, faço a contagem do total de combinações de números. Estão disponíveis 50 números de onde escolhemos cinco. Para o primeiro número temos 50 hipóteses, para o segundo 49, para o terceiro 48, para o quarto 47 e para o quinto 46, ou seja, temos 50x49x48x47x46 maneiras distintas de o fazer. Mais uma vez a ordem de escolha é irrelevante, pelo que temos de dividir por “qualquer coisa”.


Para determinar essa “qualquer coisa” utilizo um exemplo. A chave 2 – 7 – 19 – 45 – 50 pode ser extraída de quantas maneiras? Na primeira extração pode sair qualquer um destes cinco números, isto é, temos cinco hipóteses, para o segundo número já só temos quatro hipóteses, para o terceiro, três, para o quarto, duas e para o último, apenas uma. Faço-os ver (pelo menos tento) que cada uma das chaves pode ser extraída de 5x4x3x2x1 = 120. Portanto, o total de combinações de números é 50x49x48x47x46 a dividir por 120, que é igual a 2118760, mais de dois milhões de combinações.


Para obter o número total de chaves possíveis do Euromilhões, ainda falta multiplicar este último número por 66. O resultado é 2118760x66 = 139838160, mais de cento e trinta milhões de chaves possíveis! Nesta altura já perceberam que é mesmo muito, muito, difícil acertar na chave sorteada. Mesmo assim ainda calculo a probabilidade de acertarem se fizerem apenas uma aposta. Essa probabilidade é:



Virtualmente zero! Se o leitor jogar com mais chaves, para saber a probabilidade de ganhar, basta multiplicar este número pelo número de apostas que efectuar. 

 
Há maneiras mais simples de determinar a probabilidade de se ganhar o Euromilhões, uma delas está neste fantástico episódio do Isto é Matemática, mas gosto de ir criando algum suspense à medida que vamos avançando na contagem.


Não é só o primeiro prémio que é difícil de ganhar, todos os outros são. Naturalmente, quanto menor é o valor do prémio, maior é a probabilidade de o ganhar. Na tabela seguinte pode consultar a probabilidade de ganhar qualquer um dos prémios se efectuar apenas uma aposta:



Após perceberem que as possibilidades de ganhar o primeiro prémio são diminutas vem sempre a pergunta sacramental: “mas se é assim tão difícil, por que razão sai sempre, ou quase sempre?”


A explicação é simples. Todas as semanas são registadas milhões de chaves distintas pelo que a probabilidade de uma dessas chaves ser sorteada é bastante alta. A probabilidade de a nossa chave ser a sorteada é que é muitíssimo baixa. É por essa razão que o primeiro prémio sai muitas vezes. Mesmo assim, com tantas pessoas a jogar todas as semanas, não é raro que em vários concursos consecutivos a chave sorteada não seja uma das registadas.


Para finalizar a minha “dissertação” sobre o Euromilhões ainda lhes digo que não importa qual a chave que escolhem, todos têm a mesma probabilidade de sair. Apesar de parecer impossível que possa ser sorteada a chave 1 – 2 – 3 – 4 – 5 + 1 – 2, a Matemática diz-nos que é tão provável ser sorteada esta como uma outra qualquer.


Na internet estão disponíveis estatísticas com os números que mais vezes foram sorteados durante todos os anos em que existe este jogo. O leitor pode apostar nos que têm maior frequência absoluta, mas tenha a consciência de que isso não aumenta as suas possibilidades de ganhar.


É por isto tudo que eu não jogo no Euromilhões... a não ser quando o prémio é grande. Poder ganhar milhões de euros apostando apenas dois euros e meio é aliciante, apesar de saber que as hipóteses de ganhar são ínfimas.


E o leitor joga regularmente no Euromilhões?


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