(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião junho de 2017
Publicado a 21 de Junho de 2017

 


A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado.                                                   

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP                                          


Dia 21 de cada mês

                 


(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - É naquela base

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Título: É naquela base


Numa grande parte do mundo, os números representam-se usando notação posicional em base 10. Mas não há nada de particular na base 10 que a recomende, mais do que qualquer outra base, para que seja usada para representar números. De facto, a proeminência da base 10 tem uma razão que não é matemática, mas sim biológica: o facto de termos dez dedos.


Outros povos, em outras épocas, usaram outras bases. Os Maias recorriam à base 20 (a conjectura que toda a gente faz é que também usariam os dedos dos pés para contar), na antiga Babilónia foi empregue a base 60 e também houve povos que usaram (e, em alguns casos, ainda usam) base 5 ou base 4. E, naturalmente, os computadores, como se sabe, usam binário (isto é, base 2) internamente.


E o que é usar, por exemplo, base 5? Isso significa que só se empregam cinco algarismos, os quais, para não complicar, vou representar por 0, 1, 2, 3 e 4. Se quisermos representar 88 em base 5, começamos por dividir 88 por 5:  88 = 17×5 + 3. Então o algarismo da direita é 3. Em seguida, dividimos 17 por 5:  17 = 3×5+2. Então o segundo algarismo a contar da direita é 2 e, além disso, o terceiro algarismo é 3. Ou seja, a representação de 88 em base 5 é  323. Posto de outro modo,


88 = 3×52 + 2×5 + 3.

O que muita gente não tem consciência é que as diversas bases não servem somente para representar números. É que podemos fazer contas em qualquer base exactamente como as fazemos em base 10. Considere-se, por exemplo, o número 8, o qual em base 5, se representa por 13. Quanto dá e como é que se representa em base 5 a soma 88 + 8? Podíamos, é claro, somar 88 com 8 (dá 96) e converter a resposta para base 5. Mas já dispomos das representações em base 5 das duas parcelas (323 e 13, respectivamente) e, por isso, é mais natural fazer os cálculos directamente em base 5. A soma dos algarismos das unidades (3 em ambos os casos) dá seis, que, em base 5, se representa por 11. Então a soma dá 1 e vai 1. Agora somamos os algarimos à esquerda dos das unidades (2 e 1 respectivamente) e acrescentamos o 1 que veio de trás; dá 4. Já esgotámos os algarismos do segundo número, mas o primeiro ainda tem um 3. Logo, a resposta é 341.


A ideia essencial a manter é esta: não há nada de especial na base 10! Nesta fase, alguém pode dizer que há algo de especial na base 10, sim: a prova dos nove, que nos ajuda a ver se os nossos cálculos estão correctos. Só que na base 5 também há a prova dos quatro: o resto da divisão de um número por 4 é o resto da divisão da soma dos seus algarismos (ao representarmos o número em base 5) por 4. E existe algo análogo para qualquer base, excepto, naturalmente, no caso da base 2, pois aí teríamos um critério de divisibilidade por 1! Aliás, se há base da qual se pode dizer que é um tanto diferente das outras é precisamente a base 2.


Se se criasse uma sociedade de raiz, qua base é que se devia empregar? Há vários critérios a ter em conta. Quanto maior for uma base, mais curta é a representação de cada número, mas mais longas são as tabuadas que é necessário memorizar para fazer operações. Além disso, para tudo o que envolve fracções, uma base com muitos divisores é preferível a uma base com poucos (e, nesse sentido, na proximidade de 10 a melhor base a usar é a base 12).

Finalmente, dois desafios ao leitor:


 Experimente fazer multiplicações e divisões em binário. Vai ver como são extraordinariamente simples de fazer.


 Quer saber se realmente domina fazer cálculos em outra base além da base 10? Experimente calcular uma raiz quadrada noutra base.