100 Problemas por José Paulo Viana
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião julho de 2017
Publicado a 17 de Julho de 2017


100 Problemas por José Paulo Viana - Queres jogar comigo?

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião julho de 2017                                                            

Clube de Matemática SPM


Título: QUERES JOGAR COMIGO?


Um dos jogos que mais gosto de propor aos meus amigos é o “Pares e Ímpares”:

Vamos lançar sucessivamente um dado e registar se o número saído é par (P) ou ímpar (I).

O jogo termina quando surgir uma destas duas sequências: I-I-P ou P-I-I.

Tu ganhas se aparecer primeiro a sequência I-I-P.

Eu ganho logo que saia P-I-I.


Repare-se que existem oito sequências possíveis para três lançamentos, todas igualmente prováveis: 


P-P-P, P-P-I, P-I-P, P-I-I, I-P-P, I-P-I, I-I-P, I-I-I.


Para evitar uma possível injustiça, no caso de o dado não ser perfeito, escolheram-se duas sequências com um número par e dois ímpares.


Imaginemos que os resultados dos sucessivos lançamentos foram:


 P-I-P-P-P-I-I


O primeiro trio (P-I-P) não interessa porque não corresponde a nenhum dos nossos casos, o segundo (I-P-P) também não, …, até que finalmente o último (P-I-I) me daria a vitória (na demonstração do jogo consigo sempre ganhar…).


O jogo não pode ser mais justo.


Leitor, quer jogar comigo? E o que apostamos? Um almoço?


Antes de aceitarmos um jogo qualquer, convém ver se ele é mesmo justo (ou, melhor ainda, se ele nos é favorável – mas nunca ninguém nos desafia para jogos desses).


Parece ser este o caso mas… o melhor é confirmar.


Comecemos por analisar o que pode acontecer após as duas primeiras jogadas. São possíveis quatro resultados, igualmente prováveis.




No primeiro caso, I-I, o dado continua a ser lançado mas o jogo termina logo que sai a primeira face par: I-I-…-I-I-P. Ganha o meu adversário.


Passemos ao segundo caso, I-P. Para o meu adversário ganhar, vai ser preciso que saiam dois números ímpares seguidos e depois um par. Mas, quando pela primeira vez aparecerem dois ímpares seguidos, antes deles estará de certeza um par, e ganho eu.


No terceiro caso, P-I, a situação repete-se. O meu opositor necessita de dois ímpares (que podem demorar até aparecer) mas, antes deles, estará um par e eu ganho.
E o mesmo se passa no quarto caso.


Ou seja, o jogo fica completamente definido após as duas jogadas iniciais e já se sabe quem será vencedor. Basta que tenha saído uma face par para que eu ganhe.


Um jogo, que à primeira vista parecia equilibrado e justo, afinal dá 75% de probabilidade de vitória para um jogador (eu, claro!) e apenas 25% para o outro.


Já perceberam porque gosto tanto deste jogo?