Números Reais por Hélder Pinto
Clube de Matemática SPM - Outubro de 2017
Publicado a 16 de Outubro de 2017





Nesta secção iremos mostrar apontamentos de matemática elementar que podem ser encontrados na vida quotidiana. E tentar mostrar que todas as pessoas sabem alguma matemática – basta pensar que transformar «17h15» em «cinco e um quarto» envolve mais pensamento matemático do que parece à primeira vista…

 

Hélder Pinto - Professor e investigador em História da Matemática                                        




Números Reais por Hélder Pinto - A Matemática que o utilizador faz diariamente

Clube de Matemática SPM - Outubro de 2017 

 

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Título: A Matemática que o utilizador do relógio faz diariamente


Todos nós já encontramos muitas pessoas que afirmam que não percebem nada, nem gostam, de matemática. O que mais me surpreende nestas pessoas é o grau de orgulho e regozijo com que estas afirmações são proferidas, como se o facto de não saberem nada de matemática fosse uma espécie de atestado de normalidade. Nunca vi ninguém orgulhoso de dar erros de português (o que se diz mal por aí de um certo treinador de futebol muito conhecido na nossa praça…) ou de não saber onde fica um determinado país, mas o facto de não se saber, por exemplo, fazer uma conta de dividir ou determinar uma percentagem não parece ser causa de embaraço para ninguém… 

Para tentar alterar esta perceção das pessoas, tentarei mostrar neste espaço do clube alguns exemplos simples de que toda a gente sabe alguma matemática, mesmo quem afirma que não sabe nada. 

O exemplo de que falarei hoje é um objeto utilizado diariamente por quase todas as pessoas: o relógio. Não irei aqui explicar os mecanismos matemáticos que existem «dentro» dos relógios e cingir-me-ei à matemática que qualquer utilizador recorre quando usa o seu relógio:

- multiplicações: num relógio de ponteiros fazem-me muitas multiplicações (porque é que quando o ponteiro dos minutos está no 7 se tem 35 minutos?)

- subtração: em qualquer relógio (mesmo nos analógicos) se utilizam expressões como, por exemplo, «três menos 10» ou «três menos 5». Implicitamente está-se a fazer uma subtração relativamente a 60 e não há confusões relativamente à hora a que se está a referir; uma outra maneira de ver a questão é pensar no número de minutos que faltam para completar 60. 

- frações: expressões do tipo «três e um quarto» ou «cinco e meia» são muito utilizadas na leitura de relógios e podem ser encaradas como frações da hora (60 minutos): 1/4 de hora são 15 minutos e 1/2 de hora são 30 minutos. Note-se que qualquer adepto de futebol sabe quantos minutos são «uma hora e meia», isto é, 1+1/2 horas…

- aritmética modular: porque é que 4 horas da tarde é o mesmo que 16 horas? Que contas se fazem para justificar que 4 é «igual» a 16? O que toda a gente faz, ainda que implicitamente, é dar «saltos de tamanho 12» para passar de 4 para 16 e vice-versa. Em matemática, a generalização deste tipo de pensamento tem o nome de aritmética modular, também por vezes denominada de aritmética do relógio. Nesta situação, tem-se então 


16≡4 (mod 12) 


 (esta expressão lê-se do seguinte modo: 16 é congruente com 4, módulo 12) 

A matemática gosta de generalizar e não se fica pelas 24 horas do dia. Por exemplo, em matemática, tem-se então que 27≡3 (mod 12). Porquê? Porque 27-12-12=3.
Em matemática generaliza-se ainda este conceito para outros valores que não apenas o 12. Por exemplo, se tivéssemos um relógio com apenas «9 horas», tinha-se que 

12≡3 (mod 9) e 16≡7 (mod 9). 

A aritmética modular tem várias aplicações sendo a mais conhecida a sua aplicação à computação. Quando se refere que os computadores só usam «zeros e uns» está-se a fazer referência ao facto que os computadores usarem nos seus processos internos a aritmética modular de módulo 2. 

PS: Até as pessoas que afirmam que são «um zero à esquerda» a matemática sabem alguma matemática se pensarem um pouco na expressão que acabaram de utilizar…