Números Reais por Hélder Pinto

Um dos jogos mais conhecidos em Portugal é o totoloto. Este jogo e outros similares são muitas vezes utilizados como motivação para o estudo de problemas combinatórios e de probabilidades. É possível encontrar na internet vários textos onde são explicadas as probabilidades de se ganharem os diferentes prémios atribuídos por este jogo. Por exemplo, com as atuais regras, a probabilidade de ganhar o primeiro prémio do totoloto (cinco números e o número da sorte) é de 1 em 24 789 492*.

No texto de hoje vamos falar de uma outra questão, que também envolve conceitos de combinatória, que é o valor cobrado pelo responsável do jogo do totoloto nas apostas múltiplas. Relembre-se que uma aposta múltipla é quando se aposta numa quantidade de números (4, 6, 7, 8, 9, 10 ou 11) diferente da quantidade de números que são sorteados (5).

Fazendo uma simulação online surge que uma aposta simples (escolha de cinco números) custa €0,90. 

 

Quando se escolhem seis números é óbvio que as probabilidades de vitória aumentam. O que importa saber é o valor desse aumento. 

  

De facto, surge a indicação de que agora são seis apostas, isto é, que existem seis possibilidades de vitória. Observa-se facilmente que o apostador, com a aposta da imagem, ganha o primeiro prémio quando sair uma das seguintes chaves: 

Por isso, o valor a pagar por esta aposta múltipla é de 6×€0,90=€5,40.

Quando se escolhem sete números existe um novo aumento de possibilidades de vitória do primeiro prémio que passam a ser 21. Em matemática, conceitos simples de combinatória permitem calcular esse número sem ter de encontrar, explicitamente, as chaves que permitem a este apostador vencer o primeiro prémio: 

Por isso, o valor a pagar por esta aposta múltipla terá de aumentar para 21×€0,90=€18,90. 

 

Fazendo contas perfeitamente análogas, chegam-se às seguintes conclusões: 

No final do boletim surge ainda a hipótese de se escolher apenas quatro números. Nessa situação, o apostador ganha o primeiro prémio se todos os quatro números que escolheu estiverem nos cinco sorteados. Como é fácil de perceber, as possibilidades do apostador aumentam consideravelmente. De facto, se um apostador escolher os números 1, 2, 3 e 4, o apostador ganha sempre que sair uma destas seguintes chaves:

É igualmente fácil de observar que este apostador tem agora 45 possíbilidades para ganhar o primeiro prémio e, portanto, terá de pagar 45×€0,90=€40,50 por esta sua aposta.

  

As contas que aqui se apresentam podem não ser do conhecimento de quem joga mas tiveram de ser pensadas para garantir a «justiça» – quer para o apostador quer para a entidade responsável pelo totoloto – do valor a pagar pelas diferentes apostas múltiplas.

PS. Todas as imagens apresentadas foram retiradas de https://www.jogossantacasa.pt/web/JogarTotoloto/.

* Um aluno do secundário consegue chegar a este número utilizando conceitos simples de combinatória: