100 Problemas por José Paulo Viana

No “Cem Problemas” anterior [ver http://www.clube.spm.pt/arquivo/5461] vimos uma curiosa variante de um problema famoso, o da corda à volta da Terra à qual se retira um metro.

Quando, há uns tempos, discutia este problema com o Hubert Colombat (matemático meu amigo de longa data), ele sugeriu uma outra variante.

Temos uma corda à volta da Terra.

Acrescentamos um metro à corda.
Puxamo-la para cima de modo a que fique perfeitamente esticada.
Seguramo-la com uma haste.
Qual é a altura da haste?

Tal como nos outros dois problemas com cordas à volta da Terra, o resultado é inesperado e vai contra a intuição da maioria das pessoas.

Leitor, não quer tentar resolvê-lo antes de continuar a ler? Bem, esperemos que sim, embora este caso seja um pouco mais complicado que os anteriores.

Para simplificar a escrita, representemos por R a medida do raio da Terra. No final, substituiremos R por 6378 km, que é o seu valor aproximado.

Vamos fazer um esquema da situação.

O segmento DA representa a haste e o que queremos saber é a sua medida x.

O ponto B é o local onde a corda esticada volta a tocar a terra. Os segmentos BC e CD medem R, e o AC mede R+x. O ângulo formado pelos raios BC e CD mede α radianos.

O triângulo ABC é retângulo em B porque AB é tangente à circunferência. Logo

Esta equação é analiticamente irresolúvel mas, felizmente, vivemos tempos gloriosos em que a tecnologia nos permite encontrar a sua solução com muita precisão e rapidez. Usando uma boa máquina, introduzimos a função correspondente ao primeiro membro da equação e, numa janela adequada, pedimos o seu zero.

 

Já está, x = 0,1215 km.

Surpresa! A haste (ou melhor, um enorme poste) teria 121,5 metros de altura, o equivalente a um prédio dos seus 40 andares.

Podemos agora fazer mais uns cálculos rápidos para ver que:

1º) A corda esticada tocaria em terra a 39,367 km do poste.

2º) Confirmar numericamente, através do teorema de Pitágoras, que tudo está certo.