(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos
Clube de Matemática SPM - Dezembro de 2017
Publicado a 21 de Dezembro de 2017

 


A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado.                                                        

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP                                               


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(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Chinesices

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Título: Chinesices


Vamos começar com um problema: há um número natural que:

  dividido por 3 dá resto 2;

  dividido por 5 dá resto 3;

  dividido por 7 dá resto 2.


Que número é esse?

Este problema não é propriamente novo, pois surge no Sunzi Suanjing, um texto chinês escrito algures do século III ao século V da nossa era.

O problema terá solução? E caso tenha, tem uma ou mais do que uma? Vamos começar por esta última pergunta. A resposta é simples: se tiver uma solução, tem uma infinidade delas, pois se n for solução, então n + 105 também é solução, uma vez que 105 = 3×5×7 e, portanto, os restos da divisão de 105 por 3, por 5 e por 7 são todos 0, pelo que n e n + 105 têm os mesmos restos ao dividir por aqueles três números. E quem diz n + 105, diz n + 2×105, n + 3×105 e assim por diante.

Mas será que tem alguma solução? Sim, tem: 23. É fácil verificar que é uma solução. Já vimos que, uma vez que 23 é solução, se lhe somarmos um múltiplo de 105 obtemos outra. Mas há outras soluções além destas? Não, e é fácil ver porquê. Se k é solução, então o resto da divisão de k – 23 por 3, por 5 e por 7 é 0; por outras palavras, k – 23 é múltiplo de 3, de 5 e de 7. Mas isto é o mesmo que dizer que k – 23 é múltiplo de 105, ou seja, k é a soma de 23 com um múltiplo de 105.

É claro que a questão interessante é a de saber como chegar à solução 23. O texto chinês acima mencionado só dá a resposta, mas não diz como é que se chega lá. Uma maneira de o fazer viria a ser descrita noutro texto chinês, de 1247. Isto torna natural que o resultado de que estamos a falar seja conhecido por Teorema Chinês dos Restos. O que ele afirma é que se tivermos vários números naturais primos entre si dois a dois (no exemplo de cima, é o caso dos números 3, 5 e 7) e se procurarmos um número n cujos restos da divisão pelos números dados sejam números fixados à partida, então o problema tem sempre solução. Além disso, quaisquer quer duas soluções diferem por um produto dos números dados.

Há um método de resolver o problema baseado no algoritmo de Euclides. Outro método, menos eficiente mas mais elementar, é o seguinte (no caso do problema do início deste texto): começa-se por fazer a lista de todos os naturais até 105 (inclusive): 1, 2, 3, … Como estamos à procura de um número cujo resto ao dividir por 3 é 2, então excluímos desta lista os números que não têm essa propriedade, ficando com 2, 5, 8, … Em seguida, excluímos desta lista os números cujo resto da divisão por 5 não seja 3, ficando com 8, 23, 38, 53, … (repare-se que basta encontrar o primeiro número nestas condições e depois dar saltos de 15 em 15). Finalmente, vê-se que elementos desta lista é que dão resto 2 ao serem divididos por 7 e só há um: 23.

Para terminar, uma história engraçada. Diz-se que, na antiga China, este teorema era usado no exército para contar soldados. Imagine-se que se tinha uma unidade de cerca de 800 soldados. Era-lhes dada a ordem de se porem em grupos de 14 (por exemplo) e via-se quantos é que sobravam. Em seguida, mandava-se que se pusessem em grupos de 15 e via-se quantos é que sobravam. Depois, via-se qual era a solução mais próxima de 800. Se, por exemplo, ao dividirem-se os soldados em grupos de 14 sobrassem 10 e ao dividirem-se os soldados em grupos de 14 sobrassem 12, isso queria dizer que havia 822 soldados. Um excelente exemplo de aplicação da Matemática, não é verdade?

Infelizmente, apesar de esta história ser bastante divulgada, não há qualquer vestígio de que o Teorema Chinês dos Restos alguma vez tenha sido usado desta maneira.