Se e Só Se por José Carlos Pereira

Eixos de Opinião fevereiro de 2014

               


Nesta coluna pretendo partilhar todos os meses a minha opinião sobre questões relacionadas com a Matemática e com o seu ensino. Os leitores são convidados a comentar, com argumentos a favor ou contra, aliás é esse o objectivo desta coluna: discutir diferentes pontos de vista sobre o tema do artigo (dia 3 de cada mês).


José Carlos da Silva Pereira – Professor de Matemática, autor de livros escolares e responsável pelo site Recursos para Matemática.



Se e Só Se por José Carlos Pereira

Artigo de fevereiro de 2014 

Clube de Matemática SPM

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Título: Combinatória

A Combinatória é uma das áreas da Matemática que mais gosto e que mais gosto de ensinar. O meu primeiro contacto com esta área aconteceu já na faculdade, na cadeira de “Matemática Finita,” ministrada pelo professor Fernando Ferreira. Apesar de ser um dos conteúdos do programa de Matemática quando frequentei o ensino secundário, foi uma matéria que nunca foi abordada nas minhas aulas, devido à extensão do programa de então. 

Normalmente, na perspectiva de um aluno, é uma matéria que causa alguns problemas. Não raras vezes ouvimo-los a queixarem-se que não conseguem perceber quando devem usar uma combinação ou um arranjo. Todavia, com o tempo, os alunos começam a perceber e a distinguir as diferentes situações. Nessa altura, a Combinatória passa de algo obscuro e difícil a algo belo e fácil. O mesmo aconteceu comigo. Nas primeiras as aulas que tive sobre o assunto pouco entendi, mas com o passar do tempo, todas as peças se foram encaixando e tudo começou a fazer sentido. 


As notações que usei na faculdade eram diferentes das que se utilizam usualmente hoje em dia no ensino secundário. Dessas, a notação para o número de arranjos simples de n elementos p a p (nAp com  n,p pertence a IN e n maior ou igual a p ) ainda hoje a refiro aos meus alunos. Essa notação era np, que se lê “n, p a descer” e permitia perceber imediatamente que np é o produto dos p números naturais consecutivos menores ou iguais a n:  

               

                                                       
 

É por essa razão que ainda hoje refiro esta notação aos meus alunos. Com ela também se torna claro que nn=n! . Um exemplo simples, o número de maneiras de atribuir um código a um cartão multibanco de modo a ter os algarismos todos distintos é dado por 10x9x8x7=104=10A4 , isto é, “dez, quatro a descer”, ou como se usa actualmente no secundário, arranjos simples de 10 elementos 4 a 4 (número de sequências distintas que é possível formar com quatro elementos distintos escolhidos num conjunto de dez). 

                                                                          

Para finalizar, deixo três problemas de combinatória que gosto muito.
1. Um grupo de n pessoas vai ser dividido em dois grupos de n/2  pessoas (n par). Sabendo que o número de maneiras de o fazer é 1716, qual é o valor de n?
2. Quatro amigos vão fazer uma entrevista para um lugar de jornalista numa rádio nacional. Quando chegam ao local da entrevista já lá estão oito pessoas. De quantas maneiras podem as doze pessoas fazer a entrevista, uma de cada vez, de modo que pelo menos dois dos quatro amigos a façam consecutivamente?  
3. Este último problema foi-me proposto por um amigo, chama-se “Problema de Kolmogorov” (foi com este o nome que chegou até mim) e diz o seguinte:
De quantas maneiras diferentes é possível coser um botão de quatro casas, passando a agulha por pelo menos duas casas?

Coloquei este problema na minha página. Quase todas as propostas de resolução do problema, assim como a minha, foram feitas “à mão”, fazendo todas as 63 combinações possíveis, que é a resposta correcta:

                


A única resolução que não usou este método de “força bruta”, recorreu a um elegante processo utilizando Combinatória. Não vou dizer que proposta foi essa. Deixo para o leitor o desafio de chegar à solução, recorrendo às ferramentas da combinatória.

Podem deixar as vossas propostas de resolução destes problemas no Facebook do Clube SPM.

Publicado/editado: 06/02/2014