100 Problemas com José Paulo Viana

Eixos de Opinião março de 2014

 

Ah, os problemas!                 
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?                 
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?                 
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?                 
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.

   

José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público


100 Problemas por José Paulo Viana

Artigo de março de 2014                  

Clube de Matemática SPM

Título: FALTAM DADOS…

De vez em quando deparamos com um problema em que, depois de refletirmos um bocado, exclamamos para nós próprios: É impossível! Os dados são (ou parecem) manifestamente insuficientes.
– A soma das idades dos meus três filhos é 14 – disse-me aquela mãe orgulhosa. – E o produto é precisamente o número que tenho estampado aqui na camisola. Como gostas de resolver problemas, vê lá se consegues descobrir quantos anos tem cada um.

Olhei para a camisola e fiz uns cálculos.
– Só assim não chego lá.
– Pois então digo-te que o do meio ficou hoje em casa porque está com gripe.
– Ah, então já sei!

Quais são as idades dos três rapazes?
Este problema é uma variante de um outro, bastante antigo e que é um verdadeiro clássico. Se já o tiver resolvido alguma vez, não terá grande dificuldade em chegar à solução deste que agora lhe propomos. Caso contrário, parece mesmo que não há dados suficientes… Mas não desanime, comece a usar a informação disponível e vai ver que, de repente, tudo se pode tornar claro. Vá, e não comece já a ler o que vem a seguir…
Só quando se organiza e trata toda a informação (que parece ser demasiado escassa) é que se percebe que se pode avançar um pouco mais, e depois mais um pouco até se encontrar a solução. Ora vejamos.
Se a soma das idades é 14, vamos fazer a lista de todos os casos possíveis, indicando o produto dos três números.

Caso A)  12 × 1 × 1 = 12              Caso I)  8 × 3 × 3 = 72  (**)

Caso B)  11 × 2 × 1 = 22              Caso J)  7 × 6 × 1 = 42

Caso C)  10 × 3 × 1 = 30              Caso K)  7 × 5 × 2 = 70

Caso D)  10 × 2 × 2 = 40  (*)        Caso L)  7 × 4 × 3 = 84

Caso E)  9 × 4 × 1 = 36                Caso M)  6 × 6 × 2 = 72  (**)

Caso F)  9 × 3 × 2 = 54                Caso N  6 × 5 × 3 = 90

Caso G)  8 × 5 × 1 = 40  (*)          Caso O) 6 × 4 × 4 = 96

Caso H)  8 × 4 × 2 = 64                Caso P)  5 × 5 × 4 = 100


Como o produto dos números é igual ao que está na camisola, não haveria qualquer dúvida se ele fosse, por exemplo, 84. Ao vermos 84, saberíamos estar perante o caso L e as idades seriam 7, 4 e 3.
Visto que conhecer o número da camisola ainda não permite descobrir as idades, isso quer dizer que esse número corresponde a mais que uma situação. É o que acontece com os casos D e G (cujo produto é 40) e com I e M (cujo produto é 72). Mas como sabemos que existe um filho com uma idade intermédia, podemos eliminar as situações em que há gémeos.
Sobra apenas o caso G. A camisola tem o número 40 e as idades dos rapazes são 8, 5 e 1.

O PROBLEMA CLÁSSICO


– Que idades têm os teus três filhos? – perguntei.
- Não te digo, mas dou-te uma pista: o produto das idades é 36.
– Essa informação é manifestamente insuficiente.
– Então digo-te que a soma das idades é igual ao número da minha porta.
Olhei para o número, fiz uns cálculos e disse:
– Ainda não é possível descobrir.
– Então informo-te que o mais velho toca piano.
Que idades têm eles?