|
Ah, os problemas!
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público |
De vez em quando deparamos com um problema em que, depois de refletirmos um bocado, exclamamos para nós próprios: É impossível! Os dados são (ou parecem) manifestamente insuficientes.
– A soma das idades dos meus três filhos é 14 – disse-me aquela mãe orgulhosa. – E o produto é precisamente o número que tenho estampado aqui na camisola. Como gostas de resolver problemas, vê lá se consegues descobrir quantos anos tem cada um.
Olhei para a camisola e fiz uns cálculos.
– Só assim não chego lá.
– Pois então digo-te que o do meio ficou hoje em casa porque está com gripe.
– Ah, então já sei!
Quais são as idades dos três rapazes?
Este problema é uma variante de um outro, bastante antigo e que é um verdadeiro clássico. Se já o tiver resolvido alguma vez, não terá grande dificuldade em chegar à solução deste que agora lhe propomos. Caso contrário, parece mesmo que não há dados suficientes… Mas não desanime, comece a usar a informação disponível e vai ver que, de repente, tudo se pode tornar claro. Vá, e não comece já a ler o que vem a seguir…
Só quando se organiza e trata toda a informação (que parece ser demasiado escassa) é que se percebe que se pode avançar um pouco mais, e depois mais um pouco até se encontrar a solução. Ora vejamos.
Se a soma das idades é 14, vamos fazer a lista de todos os casos possíveis, indicando o produto dos três números.
Caso A) 12 × 1 × 1 = 12 Caso I) 8 × 3 × 3 = 72 (**)
Caso B) 11 × 2 × 1 = 22 Caso J) 7 × 6 × 1 = 42
Caso C) 10 × 3 × 1 = 30 Caso K) 7 × 5 × 2 = 70
Caso D) 10 × 2 × 2 = 40 (*) Caso L) 7 × 4 × 3 = 84
Caso E) 9 × 4 × 1 = 36 Caso M) 6 × 6 × 2 = 72 (**)
Caso F) 9 × 3 × 2 = 54 Caso N 6 × 5 × 3 = 90
Caso G) 8 × 5 × 1 = 40 (*) Caso O) 6 × 4 × 4 = 96
Caso H) 8 × 4 × 2 = 64 Caso P) 5 × 5 × 4 = 100
Como o produto dos números é igual ao que está na camisola, não haveria qualquer dúvida se ele fosse, por exemplo, 84. Ao vermos 84, saberíamos estar perante o caso L e as idades seriam 7, 4 e 3.
Visto que conhecer o número da camisola ainda não permite descobrir as idades, isso quer dizer que esse número corresponde a mais que uma situação. É o que acontece com os casos D e G (cujo produto é 40) e com I e M (cujo produto é 72). Mas como sabemos que existe um filho com uma idade intermédia, podemos eliminar as situações em que há gémeos.
Sobra apenas o caso G. A camisola tem o número 40 e as idades dos rapazes são 8, 5 e 1.
O PROBLEMA CLÁSSICO
– Que idades têm os teus três filhos? – perguntei.
- Não te digo, mas dou-te uma pista: o produto das idades é 36.
– Essa informação é manifestamente insuficiente.
– Então digo-te que a soma das idades é igual ao número da minha porta.
Olhei para o número, fiz uns cálculos e disse:
– Ainda não é possível descobrir.
– Então informo-te que o mais velho toca piano.
Que idades têm eles?
Artigo de Opinião