100 Problemas com José Paulo Viana

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião março de 2015




 

Ah, os problemas!                            
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?                            
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?                            
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?                            
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.

   

José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público


100 Problemas por José Paulo Viana

Artigo de março de 2015 - Dia 17                                      

Clube de Matemática SPM


Título:  Para Impressionar...



Hoje, gostava de mostrar uma pequena magia que pode provocar algum espanto em muitas pessoas e fazer aumentar o vosso estatuto de matemático inteligente (atributos que costumam andar associados).

É uma variante mais elaborada de um truque bastante conhecido, mas que aqui fica mais intrigante e disfarçado.

Peçam a uma pessoa do público que pegue numa calculadora ou num telemóvel que tenha essa aplicação e deem as seguintes instruções.

– Escreve um número qualquer à tua escolha e não te esqueças dele.

– Multiplica o número por 4,14.

– Soma 25,461.

– Divide por 1,8.

– Divide novamente, agora por 2,3.

– Subtrai o número que pensante inicialmente.

– Olha fixamente para o resultado.

– Concentra-te bem no número que aí está.

– Já consegui captar o teu pensamento. O número que aí tens é 6,15.


Claro que o resultado só poderia ser aquele. A previsão é possível porque

             1,8 x 2,3 = 4,14   e porque   25,461 = 4,14 x 6,15.

Podemos preparar mais casos com números adequados e até alterar um pouco as operações a efetuar, para disfarçar melhor. Por exemplo:


– Multiplica o número por 1,6.

– Soma 4,96.

– Multiplica por 0,625.

– Subtrai o número que pensaste inicialmente.

– O número que aí tens é 3,1.


Neste caso, a previsão funciona porque 0,625 é o inverso de 1,6 e porque 4,96 = 1,6 x 3,1.

Se fizermos isto duas ou três vezes numa aula, podemos depois desafiar os alunos:
– Porque é que eu consegui adivinhar? Provem-me isso matematicamente.

A demonstração é muito simples e tem a vantagem de ser significativa para os alunos, visto aparecer ligada às experiências que acabam de ter.

Demonstração:

Se número inicial for N, os resultados vão ser sucessivamente:

4,14N                 4,14N + 25,461                (4,14N+25,461)/1,8

(4,14N+25,461)/(1,8x2,3) = (4,14N+25,461)/4,14 = N+25,461/4,14 = N + 6,15


A operação final é subtrair N e sobra 6,15.

No fim, até se pode pedir a cada aluno que invente a sua própria magia deste tipo.

Publicado/editado: 17/03/2015