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Ah, os problemas!
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público |
Temos uma caixa para guardar números que, inicialmente, estava vazia.
Quando faltava um minuto para o meio-dia, metemos lá os números de 1 a 10 e, simultaneamente, retirámos o 1.
Quando faltava meio minuto (1/2) para o meio-dia, metemos lá os números de 11 a 20 e retirámos o 2.
Quando faltava 1/3 de minuto para o meio-dia, metemos lá os números de 21 a 30 e retirámos o 3.
Quando faltava 1/4 de minuto para o meio-dia, metemos lá os números de 31 a 40 e retirámos o 4.
E assim sucessivamente. Sempre que faltava 1/n de minuto para o meio-dia, metíamos lá a enésima dezena (números de 10n-9 a 10n) e retirávamos o n. Tudo isto feito cada vez mais depressa, mais depressa, até que, plim!, chegámos ao meio-dia.
Este é um daqueles problemas que, claro, só pode existir na nossa imaginação mas que, lançado num grupo de pessoas que gostem de pensar, provoca sempre animadas discussões.
É que, qualquer que seja a resposta que nos deem, é sempre possível arranjar bons argumentos contra…
Se nos disserem que a caixa está vazia:
– Mas como? Cada vez que atuámos, a quantidade de números na caixa aumentou de nove unidades (inserimos dez números e retiramos um). A caixa foi ficando com cada vez mais números e, como fizemos isso uma infinidade de vezes, essa quantidade tende para infinito. A caixa não pode estar vazia.
Se nos disserem que a caixa não está vazia (mesmo que não nos digam o que lá possa estar):
– Mas como? Se a caixa não está vazia, é porque tem lá um ou mais números (mesmo que não saibamos quais). Seja K um desses números. Impossível! O número K não pode lá estar porque, quando faltava 1/K de minuto para o meio-dia, esse número foi retirado. Desta forma, todos os números acabaram por sair. Logo, a caixa está vazia.
E agora, leitor. Qual destas argumentações lhe parece mais consistente? As duas têm uma lógica que parece imbatível.
O paradoxo resulta da nossa dificuldade em lidar com o infinito. É que, lá, as regras não se aplicam bem da mesma maneira.
Para resolver o impasse, vamos tentar outra abordagem.
Peguemos noutro problema parecido com este.
Temos uma caixa e metemos lá todos os números naturais. Quando faltar um minuto para o meio-dia retiramos o 1, quando faltar 1/2 de minuto para o meio-dia retiramos o 2, quando faltar 1/3 de minuto para o meio-dia retiramos o 3, e assim sucessivamente.
Ao meio-dia, o que vai estar na caixa?
Penso que, neste caso, ninguém terá dúvidas: todos os números foram saindo e a caixa estará vazia.
Mas, agora, reparemos. Neste problema, metemos na caixa todos os números naturais e depois fomos retirando-os um a um. Ora, no problema inicial, os números também foram colocados todos na caixa (não de uma vez só, mas em prestações de dez…) e depois retirados um a um.
Espero que, depois disto, ninguém tenha dúvidas.
A caixa está vazia.