100 Problemas com José Paulo Viana
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião dezembro de 2015
Ah, os problemas!
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público
Ah, os problemas!
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.
José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público
100 Problemas com José Paulo Viana - Quatro portas e um automóvel
Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião dezembro de 2015
Conseguimos chegar à final de um concurso televisivo. À nossa frente temos quatro portas
fechadas e, atrás de uma delas, está o automóvel que queremos ganhar.De acordo com o regulamento, começamos por escolher uma porta sem a abrir.O apresentador, que sabe onde está o automóvel, abre uma porta que não tem nada e pergunta
se queremos manter a nossa porta inicial ou se queremos trocar para uma das outras duas.
Feita a nossa escolha (manter ou trocar), o apresentador abre nova porta vazia e novamente
nos permite manter a que temos ou trocar para a outra porta fechada.
Qual é a estratégia que devemos seguir para maximizar a probabilidade de ganhar?
Encontrei este problema no livro Impossible?, de Julian Havil. Depois, uma pesquisa na internet fez-me descobrir que há vários sítios onde o problema é abordado. Mesmo assim, pareceu-me que valeria a pena partilhá-lo convosco.
Trata-se então de uma interessante variante do famoso problema de Monty Hall. Na versão original havia três portas e o concorrente tinha apenas uma oportunidade para manter ou trocar a porta inicialmente escolhida.
Ao passarmos para quatro portas, o concorrente passa a ter dois momentos em que tem de optar por manter (M) ou trocar (T) de porta. Existem, portanto, quatro estratégias: MM, MT, TM e TT. Vamos analisá-las para descobrir a melhor.
No problema original, com, três portas, o melhor resultado que se obtinha (com probabilidade 2/3 de ganhar) era com estratégia de trocar de porta. Sendo assim, é de admitir que agora se maximizem as hipóteses de ganhar trocando nas duas vezes. Vejamos.
Estratégia TT
Nesta análise, e nas seguintes, vamos imaginar, sem perda de generalidade, que escolhemos a porta A e que o apresentador abre a D.
1º Caso) Em 1/4 das vezes, o carro está em A. O apresentador abre D. Nós trocamos para B (ou C) e o apresentador só pode abrir C (ou B). Nós voltamos a trocar e só temos a porta A disponível. Ganhamos.
2º Caso) Em 3/4 das vezes, o carro não está em A. Admitamos que ele está em B. O apresentador abre D. agora há duas hipóteses: trocarmos para B ou para C. Se trocarmos para B, como a seguir fazemos nova troca, perdemos de certeza. Se trocarmos para C, o apresentador tem de abrir A, nós voltamos a trocar para B e ganhamos. Neste 2º Caso, a probabilidade de ganhar é 3/4 x 1/2 = 3/8.
Nada mau, é mais de 50%.
Estratégia MM
Escolhemos a porta A e, em 1/4 das vezes, o carro está lá. Como não voltamos a trocar, a probabilidade de ganhar não se altera.
Muito fraco, muito fraco…
Estratégia TM
Escolhemos a porta A e, em 1/4 das vezes, o carro está lá. A seguir trocamos e saímos de A. Como, na segunda fase, não trocamos, não temos hipótese de voltar à porta A e perdemos de certeza.
Escolhemos a porta A e, em 3/4 das vezes, o carro não está lá. O apresentador abre D, logo a porta premiada é B ou C. Temos 50% de probabilidade de mudar para ela e ganhar, porque na segunda fase não trocaremos.
Fraquito!
Estratégia MT
Escolhemos a porta A e, em 1/4 das vezes, o carro está lá. Mantemos a porta na primeira fase mas depois trocamos e perdemos o automóvel.
Escolhemos a porta A e, em 3/4 das vezes, o carro não está lá. O apresentador abre D, logo a porta premiada é B ou C. Não trocamos. O apresentador abre nova porta vazia e nós trocamos de certeza para a porta premiada.
Conclusão
Afinal, a melhor estratégia não é trocar nas duas vezes. Talvez um pouco surpreendentemente, maximizamos as nossas hipóteses se mantivermos a porta inicial na primeira fase e, depois, trocarmos na segunda. Desta forma, ganharemos 75% das vezes (só perdemos se, na escolha inicial, tivermos o azar de ter acertado na porta premiada).
A pior estratégia é a da teimosia: escolhe-se uma porta e nunca mais se muda (só se ganharia 25% das vezes).