(U)Ma Temática Elementar por José C. Santos

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião dezembro de 2015

 


A Matemática elementar tem muito que se lhe diga. Embora nos seja familiar, é sempre possível encará-la de um ponto de vista novo ou inesperado.                                  

José Carlos Santos - Departamento de Matemática da FCUP                         


Dia 21 de cada mês

                 


(U)Ma Temática Elementar por José Carlos Santos - Einstein e Pitágoras

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Título: Einstein e Pitágoras

Em 1949, Einstein, então com setenta anos de idade, publicou um texto autobiográfico. Contou aí que, pelos doze anos de idade, um tio falou-lhe no teorema de Pitágoras e que, após algum esforço, ele conseguiu demonstrá-lo, por um método baseado em semelhança de triângulos. Que método seria esse? Infelizmente, Einstein não fornece informações suficientes para que se possa reconstruir a demonstração.

Conhecem-se demonstrações do teorema de Pitágoras baseadas em semelhança de triângulos. Uma delas, talvez a mais conhecida, parte da seguinte observação (veja-se a figura abaixo): se, num triângulo rectângulo [ABC], sendo recto o ângulo com vértice em C, se D for o ponto de [AB ] mais próximo de C, então os triângulos [ADC] e [BDC] são semelhantes ao triângulo de que se partiu. Aliás, isto só é válido para triângulos rectângulos.



Resulta do facto de os triângulos [ADC] e [ABC] serem semelhantes que AC/AD = AB/AC, o que é o mesmo que afirmar que AC²= AD×AB

Analogamente, resulta do facto de os triângulos [BDC] e [ABC] serem semelhantes que BC² = DB×AB. Juntando estes dois factos, deduz-se que:



Mas é provável que a demonstração de Einstein fosse outra. No início dos anos 50 do século XX, Einstein teve como assistente o matemático alemão Ernst G. Straus e descreveu-lhe uma demonstração do teorema de Pitágoras baseada em semelhança de triângulos. Straus descreveu a demonstração ao químico israelita Shneior Lifson, o qual, por sua vez a contou ao físico alemão Manfred Schroeder. Este, finalmente, divulgou-a no livro Fractals, Chaos, Power Laws, publicado em 1989. Tratar-se-á da demonstração juvenil de Einstein? Não é possível ter a certeza, mas não seria espantoso se fosse.


Considere-se a figura abaixo; quer-se perceber porque é que a área do quadrado vermelho é igual à soma das áreas dos quadrados verde e azul. Se T for a área do triângulo [ABC], se T1 for a área do triângulo [ADC] e se T2 for a área do triângulo [BDC], então T = T1 + T2. Por outro lado, a área do quadrado vermelho é igual a k×T, para algum número k. Mas, como a figura formado pelo triângulo [ABC] juntamente com o quadrado vermelho é semelhante à figura formada pelo quadrado verde juntamente com o triângulo [ADC], a área do quadrado verde é igual a k×T1 e, pelo mesmo motivo, a área do quadrado azul é igual a k×T2. Mas T = T1 + T2, pelo que k×T = k×T1 + k×T2, ou seja, a área do quadrado vermelho é igual à soma das áreas dos quadrados verde e azul.


Nem deixa de ser um bom início de carreira científica!


Publicado/editado: 21/12/2015