100 Problemas com José Paulo Viana

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião janeiro de 2016




 

Ah, os problemas!                                     
Lembram-se do prazer que é encontrar um problema, daqueles que nos desafiam logo que o lemos, e depois avançar na resolução até conseguir descobrir a resposta?                                     
Recordam-se da alegria que é descobrir a forma elegante e simples que alguém encontrou para resolver um problema que julgámos impossível ou que tanto trabalho nos deu?                                     
E, finalmente, concordam que entusiasma discutir com outras pessoas a maneira de chegar à solução de um problema que nos intriga?                                     
Pois é por estes três motivos que esta secção existe.

   

José Paulo Viana - Professor de Matemática na Escola Secundária de Vergílio Ferreira, autor da seção "Desafios" aos domingos no jornal Público


100 Problemas com José Paulo Viana - Dois envelopes com dinheiro

Clube de Matemática SPM - Eixos de Opinião janeiro de 2016                                               

Clube de Matemática SPM


Título: Dois envelopes com dinheiro


Um amigo meu, dono de uma pequena empresa, pediu-me para lhe fazer um estudo que envolvia bastante matemática. Aceitei e nem discutimos o pagamento.

Entregue o trabalho, disse-me ele:


– Claro que tens de receber pelo que fizeste e, como gostas de problemas, proponho-te o seguinte. Tenho aqui dois envelopes com dinheiro, um com o dobro da quantia do outro. Escolhes um deles e vês quanto ele tem.

A seguir, podes optar ficar com esse dinheiro ou trocar para o segundo e recebes o que lá estiver.


Escolhi um dos envelopes e vi que estavam lá 320€. Conclui, evidentemente, que o outro tinha 160 ou 640€.


Que devo fazer? Ficar com os 320 euros ou trocar de envelope?


Caro leitor, antes de prosseguir, pense um pouco e decida o que faria se estivesse no meu lugar.


Analisemos então a situação sob o ponto de vista das probabilidades.


Chamemos “Grande” ao envelope que tem mais dinheiro e “Pequeno” ao outro.


O envelope que abri tem igual probabilidade (½) de ser o Grande ou o Pequeno.  Após o abrir, estou em vias de receber 320 euros. Vejamos o que se passa se optar por trocar.


Se o meu primeiro envelope for o Grande (probabilidade ½), ao trocar vou receber apenas 160€.


Se o primeiro for o Pequeno (probabilidade ½), ao trocar vou receber 640€.


Determinemos a esperança matemática ou valor do jogo no caso da troca:


E = ½ × 160 + ½ × 640 = 80 + 320 = 400


Ou seja, em média vou ganhar 400€ quando troco, em vez dos 320 quando não troco.


Não há dúvida: vale a pena trocar porque, em média, ganho mais 80€ quando troco (com o risco de diminuir os meus ganhos em 160€ mas com a hipótese de os aumentar em 320€).


Fizemos os cálculos para o caso de o primeiro envelope ter 320€ mas o raciocínio é válido qualquer que seja a quantidade de dinheiro D que lá estiver. O segundo envelope terá D/2 ou 2D e portanto vale a pena trocar – o que posso lucrar é sempre mais do que o que posso perder com a troca.


Então, se vale a pena trocar, nem preciso de ver o que está no primeiro, escolho logo o segundo. Mas se escolho o segundo, posso fazer o raciocínio anterior e devo trocar para o primeiro...


Em que ficamos?


O raciocínio parece logicamente perfeito mas leva-nos a um paradoxo: se devemos trocar então não precisamos de trocar, escolhemos logo o outro.


Este problema é conhecido na comunidade matemática como o Paradoxo dos Dois Envelopes e tem levado a discussões e debates bastante acalorados sobre como ultrapassar o paradoxo.


Publicado/editado: 17/01/2016